en una progresión geométrica, el segundo término es $\frac{-4}{5}$ la suma de los primeros tres términos :$\frac{38}{25}$ . ¿Cuál es el primer término?

Question

En una progresión geométrica, el segundo término es $\frac{-4}{5}$ y la suma de los tres primeros términos es $\frac{38}{25}$ . ¿Cuál es el valor de la secuencia del primer término?

por alguna razón me sale un decimal como mi respuesta, que estoy bastante seguro de que no puede ser porque se trataba de una tarea de matemáticas problema:

Mis Pasos

si decimos que el primer término es el número de $n$ $r$ a ser el multiplyer

tenemos las siguientes:

$n+nr+nr^2=\frac{38}{25}$

y, a continuación, multiplicamos r en ambos lados para obtener la siguiente

$nr+nr^2+nr^3=\frac{38r}{25}$

y, a continuación, sustituimos nr con $\frac{-4}{5}$

y obtenemos los siguientes:

$\frac{-4}{5}+\frac{-4r}{5}+\frac{-4r^2}{5}=\frac{38r}{25}$

pero luego a la hora de resolver para el número de $r$ no tengo un número bastante y estoy seguro de que estoy cometiendo algún tipo de error. Me preguntaba qué estaba haciendo mal?

También entiendo que debido a que esta es una ecuación cuadrática, me preguntaba que "responder" para elegir el cero?

Answer 1

\begin{align} -\dfrac 45\left( \dfrac 1r + 1 + r \right) &= \dfrac{38}{25} \\ \dfrac 1r + 1 + r &= -\dfrac{19}{10}\\ \dfrac 1r + \dfrac{29}{10} + r &= 0 \\ 10+29r +10r^2 &= 0 \\ (2r+5)(5r+2) &= 0 \\ r &\in \left\{-\dfrac 52, -\dfrac 25 \right\} \end{align} Hay dos soluciones porque la secuencia y la secuencia invertida ambos tienen la misma suma y ambos se progresiones geométricas.

Así que el primer término es $\left(-\dfrac 45\right)\left(-\dfrac 52 \right) = 2$ o $\left(-\dfrac 45\right)\left(-\dfrac 25 \right) = \dfrac{8}{25}$

Answer 2

A partir de $$\frac{-4}{5}+\frac{-4r}{5}+\frac{-4r^2}{5}=\frac{38r}{25}$$ tenemos claro denominadores multiplicando por 25:

$$-20 + -20r + -20r^2 = 38r$$ $$20r^2+58r+20=0$$

Ahora divida por $2$: $$10r^2+29r+10=0$$ Este factores como $$(5r + 2 )(2r + 5) = 0$$ que da $r=-2/5$ $r = -5/2$ dos soluciones. Ambas son válidas, así que no hay razón para elegir uno sobre el otro.

Una vez que has conseguido $r$, debe ser sencillo encontrar $n$.

Answer 3

Lo que escribió el Señor Juan: $$1+r+r^2=-\frac{19}{10}r.$$ $$r^2+2.9r+1=0$$ Podemos encontrar fácilmente las dos raíces $r_1 = -2.5$$r_2 = -0.4$.

Ahora, desde la $nr = -\frac{4}{5}$ $r_1 = -2.5$ le dará $n = 0.32 = \frac{8}{25}$.

Y $r_2 = -0.4$ le dará $n = 2$.