Convergencia de la serie doble-infinito

Question

Que $r\in\mathbb{N}_{0}$ y $0<\lambda<1$. Demostrar que la serie doble infinito $$\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=j}^{\infty}k^r\lambda^k$ $ es convergente.

Answer 1

Sugerencia: Cada término $k^r \lambda^k$ aparece exactamente $(k+1)$ veces en la suma doble si usted expandirse en una suma única. Así que en realidad todo lo que tienes para mostrar es que el $\sum_{k=0}^\infty (k+1)k^r \lambda^k$ converge.

Answer 2

Agregar a otra respuesta, vamos a probar la convergencia con la prueba de razón. k enfoques infinidad de referencia. $${{(k+2)(k+1)^r{\lambda}^{k+1}} \over {(k+1)(k)^r{\lambda}^{k}}}$$ $${{(k+2)(k+1)^{r-1}{\lambda}} \over {(k)^r}}$$ $${{(k+2)({{k+1} \over k})^{r}{\lambda}} \over {(k+1)}}$$ $${{(k+2)({1+1/k})^{r}{\lambda}} \over {(k+1)}}$$ El valor máximo será de r se aproxima al infinito. Sin embargo, esto es sólo la definición de e. $${{(k+2)e{\lambda}} \over {(k+1)}}$$ $${{(1+2/k)e{\lambda}} \over {(1+1/k)}}$$ $${{(1)e{\lambda}} \over {(1)}}$$ Este es mayor que uno por lo que la serie converge para r menor que el valor crítico y se aparta de r mayor que ella.