¿Cómo puedo encontrar la forma cerrada de esta relación recursiva:$a_{n}=(a_{n-1})^2+a_{n-1},a_{0}=1$

Question

Esto aparece en OEIS como A007018 . Sin embargo la forma recursiva es inútil para mí, necesito la forma cerrada. He estado intentando durante varias horas y simplemente subí vacío. ¿Algún consejo?

Gracias.

Answer 1

Hay sólo dos (diagonalized monic) las versiones que dan buen formas cerradas: $$x_n = x_{n-1}^2$$ da $$x_n = x_0^{\left( 2^n \right) }.$$ El otro, utilizado por Lucas, es $$x_n = x_{n-1}^2 - 2; \; \; \; \; x_0 > 2.$$ Esta vez nos encontramos con $A > 1,$ $AB = 1$ $A + B = x_0.$ Entonces $$x_n = A^{\left( 2^n \right) } + B^{\left( 2^n \right) }.$$

Eso es todo las más bonitas. Para los demás, tomando el logaritmo de ambos lados, indican que hay un límite que es el número de $c$ de OEIS, pero sólo podemos estimar el $c$ mediante el cálculo de muchos de los términos de la misma secuencia.

Con su secuencia, teniendo en $$a_n = b_n - \frac{1}{2}$$ da $$b_n = b_{n-1}^2 + \frac{1}{4}$$ así que estás de suerte, tan lejos como la forma cerrada respuestas. Con este tanto, no es difícil probar que $$\frac{\log b_n}{2^n}$$ has a limit as $n \rightarrow \infty,$ call it $p,$ then the number $c = e^w.$