Aplicación del Lema Yoneda para probar la existencia de productos Tensor

Question

En clase el profesor dijo que cuando él llegó a demostrar la existencia de la-tensor de producto para $A$-módulos ($A$ cualquier anillo) que la existencia y propiedades del tensor de producto sería uno-trazadores de líneas después de haber demostrado la Yoneda-Lema (indicado a continuación). Seguidamente, se procedió a otras cosas.

Yo quería llenar en los detalles de esta nota, pero realmente no puedo ver a dónde ir. Alguien podría ayudarme en esto?

Muchas gracias!

Lema (Yoneda): Vamos a $D$ ser una categoría, $r$ un objeto en $D$, e $F : D \rightarrow \mathbf{Set}$ un functor. Luego hay un bijection: $$\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(r, -), F) \simeq F(r)$$ dado por $(\alpha: \mathrm{Hom}(r, -) \rightarrow F) \mapsto \alpha_r (1_r)$.

Answer 1

Como Eric Wofsey dice, el Yoneda lema no es prueba de que las cosas existen; esto demuestra que las cosas son únicos.

Aquí es cómo usted puede ir sobre demostrando que las cosas existan, mediante la categoría de la teoría. Me deja trabajar con abelian grupos para simplificar, aunque la discusión no realmente el cambio en general. Si $a$ $b$ son abelian grupos, su producto tensor $a \otimes b$ es, si existe, el objeto que representa el functor $\text{Bil}(a \times b, -)$ el envío de un grupo abelian $c$ para el conjunto de bilineal mapas de $a \times b \to c$. En general, si $C$ es un cocomplete categoría, luego de un functor $F : C \to \text{Set}$ es representable fib tiene un adjunto a la izquierda; si $c$ es la representación de objeto, luego el izquierdo adjunto toma un conjunto $X$ a la subproducto $\sum_X c$.

Por lo tanto lo que usted desea es un functor adjunto teorema. Una condición necesaria para $\text{Bil}(a \times b, -)$ tener una izquierda adjoint es que conserva los límites. Esto no es difícil de comprobar. A continuación, puede aplicar la presentable functor adjunto teorema: un functor entre presentable categorías ha dejado adjunto iff preserva límites y es accesible; este es un muy leve pequeñez condición y no es difícil comprobar aquí.

Esto es un poco más molesto que acaba de construir explícitamente el producto tensor, pero tiene la virtud de la aplicación en gran generalidad.

Answer 2

Su profesor era mucho exagerando. Usted no puede probar la existencia de tensor de productos de la Yoneda lema (al menos en cualquier manera sencilla). Sin embargo, usted puede probar su singularidad de Yoneda de la siguiente manera.

Por definición, un producto tensor de $M$ $N$ es un módulo de $T$ junto con un bilineal mapa de $\mu:M\times N\to T$ tal que para cualquier módulo de $S$, composición con $\mu$ da un bijection entre el$\operatorname{Hom}(T,S)$$\operatorname{Bilin}(M\times N,S)$, donde el último es el conjunto de bilineal mapas. Deje $F$ ser el functor $F(S)=\operatorname{Bilin}(M\times N,S)$. Entonces podemos ver que un producto tensor de $M$ $N$ es exactamente un módulo de $T$ junto con un elemento $\mu\in F(T)$ de manera tal que la correspondiente transformación natural $\operatorname{Hom}(T,-)\to F$ (como en Yoneda) es un isomorfismo. Ya que por Yoneda, cada transformación natural $\operatorname{Hom}(T,-)\to F$ proviene de alguna $\mu\in F(T)$ de este modo, se dice que un producto tensor de $M$ $N$ es la misma cosa como un objeto de $T$ junto con un isomorfismo natural $\alpha:\operatorname{Hom}(T,-)\to F$.

Ahora es fácil ver por qué el tensor de productos son únicos (canónica) isomorfismo. Dadas dos tensor de productos, que nos parece de lo más natural isomorphisms $\alpha:\operatorname{Hom}(T,-)\to F$$\alpha':\operatorname{Hom}(T',-)\to F$, la composición de la $\beta:\alpha'^{-1}\alpha:\operatorname{Hom}(T,-)\to\operatorname{Hom}(T',-)$ también es un isomorfismo natural. Por Yoneda (teniendo en $F=\operatorname{Hom}(T',-)$), este isomorfismo natural proviene de un elemento de $\operatorname{Hom}(T',T)$, es decir, un mapa de $f:T'\to T$. Similiarly, $\beta^{-1}$ proviene de un mapa de $g:T\to T'$. Usted puede, a continuación, mostrar que la transformación natural inducida por el elemento $gf\in \operatorname{Hom}(T',T')$ coincide con la composición de la $\beta^{-1}\beta$, que es la identidad. Ya que la identidad $1\in\operatorname{Hom}(T',T')$ también induce la identidad natural de transformación de $\operatorname{Hom}(T',-)\to\operatorname{Hom}(T',-)$, se sigue de Yoneda que $gf=1$. Del mismo modo, $fg=1$. Por lo tanto $f$ $g$ son inversas isomorphisms entre el$T$$T'$, compatible con su tensor de estructuras de producto.

Este es, por supuesto, mucho más que una línea. Sin embargo, es un patrón general de argumento, el mismo argumento podría trabajar con $F=\operatorname{Bilin}(M\times N,-)$ reemplazado por cualquier otro functor. El estado general es que si usted tiene dos objetos diferentes $T$ $T'$ natural y isomorphisms de ambos $\operatorname{Hom}(T,-)$$\operatorname{Hom}(T'-)$$F$, se obtiene un isomorfismo entre el$T$$T'$. Una vez que te acostumbras a él, este es un argumento muy fácil de usar una y otra vez en muchos entornos diferentes, sin pensarlo mucho.

En general, la Yoneda lema típicamente en realidad no hacer pruebas significativamente más corto. Más bien, proporciona un marco conceptual para pensar en ellos, es decir, que para que dos objetos se $T$$S$, mapas $T\to S$ son "la misma cosa" natural transformaciones $\operatorname{Hom}(S,-)\to\operatorname{Hom}(T,-)$. A veces, puede ser más fácil de entender los functors $\operatorname{Hom}(S,-)$ $\operatorname{Hom}(T,-)$ de los objetos $S$ $T$ ellos mismos (como cuando todo lo que sabemos acerca de ellos es que son tensor de productos, para que usted sepa lo que estos functors están al natural isomorfismo). Yoneda, a continuación, le permite construir y calcular las propiedades de los mapas entre los $S$ $T$ por lugar de trabajo, con las correspondientes transformaciones naturales.