Una pregunta que me ha estado molestando:
R es un anillo con unidad. Considere también$M_n(R)$ el anillo matricial.
Si todos los ideales$J$ de$M_n(R)$ son generados finitamente, ¿es necesario que cada ideal$I$ de$R$ se genere finitamente?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Paul
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34
Se puede ampliar la natural homomorphism $R\rightarrow R/I$ por un ideal $I$ a la matriz de anillo de dar un anillo homomorphism $f:M_n(R)\rightarrow M_n(R/I)$, los anillos de $R$ $R/I$ en diagonal incrustado en la respectiva matriz de anillo. Por supuesto, el núcleo de $f$ es finitely generado, y contiene $I$. En particular, los elementos de $I$ puede ser escrito como suma de productos de las entradas de un número finito de matrices en el núcleo de $f$. Por definición, estas entradas son los elementos de $I$, por lo tanto$I$ es finitely generado.
htc
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1
La respuesta a tu pregunta es sí, como ya se ha indicado en Hagen respuesta. He aquí otra prueba de que los usos de equivalencia de Morita. Esta es sin duda una exageración para una pregunta básica, pero espero que usted puede aprender algo a través de una alternativa de la prueba.
Para cualquier $n$, los anillos de $R$ $M_n(R)$ son Morita equivalente. Una Morita invariante de la propiedad de un anillo es el conjunto parcialmente ordenado (a dos caras) ideales (usted puede leer acerca de esto, por ejemplo, en Lam Conferencias sobre los Módulos y Anillos, la Proposición el 18,44). Y de todos los ideales de un anillo es finitely generado si y sólo si satisface el ascendente de la cadena de condición en sus ideales (la prueba es la misma que en la conmutativa caso).
Así, cada ideal en $R$ es finitely generado si y sólo si $R$ satisface la ACC en los ideales, si y sólo si $M_n(R)$ satisface la ACC en los ideales, si y sólo si todos los ideales de a $M_n(R)$ es finitely generado.
