¿Cómo puedo demostrar que la cadinalidad de un conjunto menos un número finito de elementos del mismo sigue siendo la misma que la del conjunto original?

Question

A es un subconjunto finito de S, que es un conjunto infinito.

¿Cómo puedo demostrar que $|S| = |S \setminus A|$ ?

Acabo de terminar de probar que $|T \cup S|$ donde $T$ es infinito y $S$ es contable es $|T|$ . Parecen relacionados pero no puedo resolverlo porque me confunden los conceptos.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Dado que has demostrado que $|T\cup S| = |T|$ si $|T|$ es infinito y $|S|$ es contable, se puede considerar la identidad $$S = (S\setminus A)\cup A.$$ Toma, $A$ es contable (porque es finito), y $S\setminus A$ es infinito (porque si fuera finito también lo sería $S$ ). Por su identidad, $$|S| = |S\setminus A|.$$

En general, si $X$ y $Y$ son disjuntos, entonces $|X \cup Y| = |X| + |Y|$ . Cuando no ambos sumandos son finitos, la suma cardinal se descompone en tomar máximos: $$|X| + |Y| = \max\{|X|, |Y|\}.$$ En su situación, deje que $X = S\setminus A$ y que $Y = A$ .

Answer 2

Si $S$ es infinito, entonces $X=\{x_1,x_2,\cdots\}$ sea un subconjunto contable de $S$ con $\{x_1,\cdots,x_n\}= A$ . Defina $f:S\to S\setminus A$ por $f(x_i)=x_{i+n}$ y $f(s)=s$ para $s\notin X$ .