Estoy tratando de entender el espacio obtenido tomando el producto cartesiano$\mathbb{C}\mathbb{P}^1\times \mathbb{C}\mathbb{P}^1$ e identificando algunos de sus puntos por la regla$(x,y)\sim (y,x)$. Viendo$\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ como un complejo de CW con una celda de 0 y una de 2 células I calculó la homología de$\mathbb{C}\mathbb{P}^1\times \mathbb{C}\mathbb{P}^1/\sim$ que coincide con la de$\mathbb{C}\mathbb{P}^2$, pero no puedo visualizar un "obvio "Homeomorfismo entre los dos espacios. Mi pregunta es la siguiente:$\mathbb{C}\mathbb{P}^1\times \mathbb{C}\mathbb{P}^1/\sim$ homeomorphic to$\mathbb{C}\mathbb{P}^2$ y, si es así, ¿cómo?
Respuestas
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Resulta que aún más es verdad: el producto simétrico$n-$ de$\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ es homeomórfico a$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$!
Para ver esto en el caso$2-$: considere polinomios homogéneos de grado dos$\mathbb{C}[x,y]^{(2)}$ cuyos elementos son de la forma$ax^2+bxy+cy^2$ y observe que para$\lambda\in\mathbb{C}^\times$,$$\lambda[ax_0^2+bx_0y_0+cy_0^2]=0\iff ax_0^2+bx_0y_0+cy_0^2=0.$% #% \ Mathbb {C} \ mathbb {P} ^ 2$ This allows us to identify points of $ \ mathbb {C} [x, y] % #% \ Mathbb {C} \ mathbb {P} ^ 2$ with elements of $ \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ 1 $ entonces se da por$, where $ $ donde la igualdad proviene de la base Teorema del álgebra.
Lukas Geyer
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Creo que estamos en el camino correcto, y un homeomorphism de $\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1/\sim$ $\mathbb{CP}^2$está dado por $$[((z_1:z_2),(w_1:w_2))] \mapsto (z_1 w_1: z_2 w_2: z_1 w_2 + z_2 w_1)$$ Tenga en cuenta que los elementos de la forma $[(1:z),(1:w)]$ mapa a $(1:zw:z+w)$, es decir, las coordenadas están dadas por la primaria simétrica funciones de $z$$w$, por lo que el mapa es un homeomorphism restringido a este subespacio sobre el subespacio de $\mathbb{CP}^2$ dado por los puntos con los no-cero de la primera coordenada. No he trabajado en todos los detalles, pero estoy bastante seguro de que este argumento puede ser promovido a mostrar que el mapa es en realidad un homeomorphism entre sus espacios.
