Cómo demostrar que $\sin^2(1/n)\leq 1/n^2, \forall n\in\mathbb{N}?$

Question

Estoy tratando de demostrar que $\sum_{n=1}^\infty \sin^2(1/n)$ es convergente, utilizando la prueba de comparación.

Mi hipótesis es que la secuencia definida por $b_n:=1/n^2$ es siempre mayor que $\sin^2(1/n)$ . Pero cuando hago la inducción en $n$ La desigualdad no está clara.

Answer 1

Tu corazonada es correcta, para todos $x\in\mathbb{R}_{\geqslant 0}$ , $\sin(x)\leqslant x$ como se puede demostrar utilizando la derivada de $x\mapsto \sin(x)-x$ o la fórmula de Taylor con resto integral.

Answer 2

Al derivar la derivada de $\sin$ , es probable que haya encontrado los límites

$$\cos(x)<\frac{\sin(x)}x<1\quad\forall~0<|x|<\pi/2$$

A partir de esto, se puede ver fácilmente que

$$\sin(x)<x\quad\forall~0<x\le1\\\implies\sin^2(1/n)<1/n^2\quad\forall~1\le n$$

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Si no recuerda esto de memoria, puede ser más intuitivo ver que si $f''(x)<0~\forall~x\in(a,b)$ entonces $f(x)$ está limitada en ese intervalo por su recta tangente y su recta secante:

$$f(a)+\frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-a)<f(x)<f(a)+f'(a)(x-a)\quad\forall~a<x<b$$

En particular,

$$\sin(x)<\sin(0)+\cos(0)x=x\quad\forall~0<x<\pi$$

Answer 3

Sugerencia Utilice en su lugar la Prueba de Comparación de Límites:

$$\lim_n \frac{\sin^2(1/n)}{1/n^2} =\left( \lim_n \frac{\sin(1/n)}{1/n} \right)^2=\left( \lim_{x_n \to 0} \frac{\sin(x_n)}{x_n} \right)^2=1$$

Answer 4

Si se le permite utilizar la prueba de comparación de límites, se lo recomiendo. Utilice su mismo $b_n$ . Sugerencia para empezar:

$$\lim_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to+\infty} \frac{\sin^2(1/n^2)}{1/n^2}$$

Ahora haz la sustitución $m = 1/n$ . ¿Qué es lo que $m$ enfoque como $n \to +\infty$ ? El resultado de esta sustitución debería ser un límite conocido de Calc 1.

Answer 5

A partir de la definición geométrica de $\sin x:$

Para $0<x<\pi /2,$ tomar triángulo $AOB$ con $OA=OB=1$ y $\angle AOB=x.$ Que D esté en $OA$ con $DB\perp OA.$ El arco del círculo centrado en $O,$ de radio $1,$ de $A$ a $B,$ tiene una longitud $x,$ que es mayor que la distancia en línea recta $AB.$ Así que $$\sin x=DB<\sqrt {DB^2+DA^2}\;=AB<x.$$

Desde $\sin (-x)=-\sin x,$ por lo tanto $|\sin x|<|x|$ para $0<|x|<\pi /2.$

Para $|x|\geq \pi /2$ tenemos $|x|>1\geq |\sin x|.$

Y por supuesto para $x=0$ tenemos $|\sin x|=0=|x|.$