En primer lugar, probablemente debería mencionar que cuando tomé el curso de introducción a la topología (punto-establecer la topología de la que es), el maestro nos dijo una y otra vez a nosotros que confiamos mucho en el axioma de elección.
También quiero añadir que no hay nada de malo con el axioma de elección, sólo simplifica infinitary los procesos de trabajo como la queremos trabajar. Alguien me dijo una vez que un buen conjunto de axiomas es tal que no se "siente" cuando usted los usa. Tal es el axioma de elección. (Debo decir que mi interés de investigación está dirigida hacia modelos que niegan la AC, pero no le veo mucho el punto de evitar que se fuera de este campo).
El axioma de elección es, de hecho, se utiliza aquí, tanto en las cuentas. Como elegir un número racional arbitrariamente cerca de su número real.
(Véase la edición de las notas a continuación)
Aquí es una alternativa a la prueba que viene a la mente: (problemática de la prueba, consulte edición de notas para más detalles)
Supongamos $A\subseteq\mathbb{R}$ es una multitud innumerable. Por el principio del palomar, existen algunas $z\in\mathbb{Z}$ tal que $A\cap [z,z+1]$ es incontable. Sin pérdida de generalidad $z=0$. Ahora por inducción demostrar que para cada $n$ hay $m<n$ tal que $A\cap [\frac{m}{n},\frac{m+1}{n}]$ es incontable, y la forma de una disminución en la cadena de conjuntos. Utilizando el Cantor del lexema (o, simplemente, por la compacidad) tenemos que la intersección es no vacía. Entonces es fácil mostrar que cualquier punto en la intersección de las $A$ y todos los intervalos no es aislado.
Una última observación acerca de la elección:
Hay muchas versiones de el axioma de elección, de "completo" global elección (para la correcta clases, no solo juegos), para sólo ser capaz de elegir entre una infinidad de conjuntos finitos. Cuando usted dice no-finito elección significa que usted elija a partir de una infinidad de conjuntos infinitos. Si usted tiene una colección finita no vacía de conjuntos puede siempre elegir uno de cada conjunto. Como ya he dicho, el axioma de elección es la extensión de este finitary proceso para el caso de que usted tiene un número infinito de conjuntos en su colección.
Edición I:
Después de una larga discusión en los comentarios, en los que he hecho un culo fuera de mí mismo, me senté a comprobar por mi mismo que este TonyK y joriki son muy correcto y el original de la prueba james dio no usar el axioma de elección.
Además, he decidido ampliar la prueba me dio un poco - como he omitido algunos detalles y algunos de ellos no son 100% exactos (que tienden a tener un problema con los detalles).
Me estoy refiriendo, por supuesto, a los intervalos cerrados. Después de pasar un par de minutos la corrección de la perspectiva de la definición de los intervalos, me di cuenta de una gran ironía que sólo es fácil de demostrar que el punto de la intersección es también en $A$ si suponemos el axioma de elección (o, al menos, contables elección).
Pasé veinte minutos o así que pensando en ello y llegó a la conclusión de que la prueba me dio, si bien es cierto con el axioma de elección, probablemente no sea tan útil como me fue con la esperanza de que lo sea. Cualquier idea sobre cómo solucionarlo se agradece.
Uno más, el último comentario sobre el axioma de elección:
A pesar de mi doble fallar por encima, quiero agregar una última poco más de información acerca de las opciones que he mencionado en la tarde de comentarios de abajo - es decir, la uniformidad de la elección.
Supongamos $I$ es una colección de conjunto no vacío. Si hay algo definible elemento en cada $i\in I$ que es definible por la misma fórmula, a continuación, hay una función de elección en $I$.
Por ejemplo, si $I$ es una colección de grupos siempre podemos definir la función para elegir el elemento de identidad.
Si uno no puede formular dicha propiedad, entonces las cosas son más complejas. Como escribí más arriba - la elección de un número finito de conjuntos es siempre posible, simplemente por $\bigwedge_{i<n}\exists x_i (x_i\in I)$ como la definición de la fórmula.
Si hay infinitamente muchos conjuntos no podemos escribir $\bigwedge_{i\in I} \exists x_i(x_i\in I)$, como de primer orden de la lógica no permite infinitary conjunciones.
Si, sin embargo, tenemos una fórmula $\varphi(x,i)$ tal que para cada a $j\in I$ hay un solo $y\in i$ tal que $\varphi(y,j)$ tiene entonces podemos definir nuestra función de elección.
Observe que estas cosas son equivalentes, si hay una función de elección, a continuación, uno puede fijar que la función y trivialmente crear $\varphi$, y si $\varphi$ existe, se define una función de elección.
