Un trigonométricas de la suma relacionados con la primitiva $q$-th raíces de $1$

Question

Estoy teniendo problemas para probar la siguiente: Para qué valores de a $q$ hace la siguiente relación se mantenga $$\sum_{\substack{1\leq d < q\\ \gcd(d,q)=1}}\!\!\!\cos\left(2\pi \cdot \frac{d}{q}\right) =0$$

He encontrado por el equipo de análisis de esto puede ser cierto para $q=p^r \cdot k$ donde $p$ es cualquier primer y $k$ es un número entero y $r$ es un número entero mayor que uno. Por ejemplo, $$q=4,8,9,12,16,18,20,24,25,27,28,32,36,40,44,45,48,49,50,52,54,56,60,63,64,68,72,75,76,80,81,84,88,90,92,96,98,99,100,104,108,112,116,117,120,121,124,125,126,128,132,135,136,140,144,147,148,150,152,153,156,160,162,164,168,169,171,172,175,176,180,184,188,189,192,196,198,200,204,207,208,212...$$ Por ejemplo, para $q=12$ hemos $$\cos\left(2\pi\cdot \frac{1}{12}\right)+\cos\left(2\pi\cdot \frac{5}{12}\right)+\cos\left(2\pi\cdot \frac{7}{12}\right)+\cos\left(2\pi\cdot \frac{11}{12}\right)=0$$

Pero soy incapaz de probar esto para el caso general,$q=p^r\cdot k$. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Su suma es la parte real de un Ramanujan la suma. Consideremos el cyclotomic polinomio $\Phi_q(x)$: sus raíces están dadas por el primitivo $q$-th raíces de la unidad, por lo tanto: $$ \Phi_q(x) = \prod_{\substack{1\leq d \leq q \\ \gcd(d,q)=1}}\left(x-\exp\frac{2\pi i d}{q}\right)\tag{1} $$ y $\Phi_q(x)$ es un palyndromic polinomio, ya que si $\xi$ es una primitiva $q$-ésima raíz de la unidad que tenemos que $\xi^{-1}$ es una primitiva $q$-ésima raíz de la unidad. El grado de $\Phi_q(x)$ $\varphi(q)$ y por Vieta del Teorema de la siguiente Ramanujan suma $$ \sum_{\substack{1\leq d \leq q \\ \gcd(d,q)=1}}\!\!\!\exp\frac{2\pi i d}{q} $$ está dada por el contrario el coeficiente de $x^{\varphi(q)-1}$$\Phi_q(x)$, que es igual al opuesto del coeficiente de $x$$\Phi_q(x)$, es decir,$-\left.\frac{d}{dx}\log\Phi_q(x)\right|_{x=0}$. Por Moebius inversión de la fórmula $$ \Phi_q(x) = \prod_{d\mid q}\left(1-x^d\right)^{\mu\left(\frac{q}{d}\right)}\tag{2} $$ por lo tanto: $$ \frac{d}{dx}\log\Phi_q(x)=\sum_{d\mid q}\frac{-d x^{d-1}}{1-x^d}\mu\left(\frac{q}{d}\right) \tag{3} $$ y mediante la evaluación de los dos lados, a $x=0$ y la explotación de Moebius de la inversión de la fórmula de nuevo, obtenemos: $$ \sum_{\substack{1\leq d \leq q \\ \gcd(d,q)=1}}\!\!\!\exp\frac{2\pi i d}{q} = \color{red}{\mu(q)}.\tag{4}$$ La RHS de $(4)$ siempre es real y tenemos que

$$\sum_{\substack{1\leq d \leq q \\ \gcd(d,q)=1}}\!\!\!\cos\frac{2\pi d}{q} = 1\quad \Longleftrightarrow\quad \begin{array}{c}q\text{ is a square-free number with}\\\text{an even number of prime factors}\end{array}$$ $$\sum_{\substack{1\leq d \leq q \\ \gcd(d,q)=1}}\!\!\!\cos\frac{2\pi d}{q} = -1\quad \Longleftrightarrow\quad \begin{array}{c}q\text{ is a square-free number with}\\\text{an odd number of prime factors}\end{array}$$ $$\sum_{\substack{1\leq d \leq q \\ \gcd(d,q)=1}}\!\!\!\cos\frac{2\pi d}{q} = 0\quad \Longleftrightarrow\quad q\text{ is not a square-free number.}\tag{5}$$