Demostrar que si $a+b+c=0$, $2(a^4 + b^4+ c^4)$ es un cuadrado perfecto

Question

Mostrar que para $\{a,b,c\}\subset\Bbb Z$ si $a+b+c=0$ $2(a^4 + b^4+ c^4)$ es un cuadrado perfecto.

Esta pregunta es de una de las olimpíadas de matemáticas del concurso.

Empecé a desarrollar la expresión $(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2$ pero no era capaz de encontrar cualquier útil de dirección después de eso.

Nota: Después de conseguir 6 respuestas aquí, otro usuario señaló otra pregunta en el sitio similar, pero no idéntico contenido (ver arriba), pero a los 7 respuestas presentadas incluyen enfoques más globales a problemas similares (por ejemplo, newton identidades y otros métodos) que he encontrado más útil, ya que en comparación con el 3 respuestas a la pregunta.

Answer 1

conectar $$c=-a-b$$ in the term $$2(a^4+b^4+c^4)$$ we get $$4\, \left( {a}^{2}+ab+{b}^{2} \right) ^{2}$$ y este es un cuadrado perfecto.

Answer 2

$$c^4=(-a-b)^4=(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$

Por lo tanto,

$$2(a^4+b^4+c^4)=4(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4)$$

Ahora calcular $(a^2+ab+b^2)^2$.

Answer 3

Una forma sistemática de hacer esto es usando Newton identifites.

Deje $p_k = a^k + b^k + c^k$ $k = 1, 2, 3, 4$ y $$\begin{align} s_1 &= a + b + c\\ s_2 &= ab+bc+ca\\ s_3 &= abc \end{align}$$ ser la primaria simétrica polinomios asociados con $a, b, c$.
Newton identidades nos dicen:

$$\requieren{cancel}\begin{array}{rlrlrlrlrl} p_1 &-& s_1 &&&&&= 0\\ p_2 &-& \cancelto{ 0}{\color{grey}{s_1 p_1}} &+& 2s_2 &&&= 0\\ p_3 &-& \cancelto{ 0}{\color{grey}{s_1 p_2}} &+& \cancelto{ 0}{\color{grey}{s_2 p_1}} &- &3s_3 &= 0\\ p_4 &-& \cancelto{ 0}{\color{grey}{s_1 p_3}} &+& s_2 p_2 &-& \cancelto{ 0}{\color{black}{s_3 p_1}} &= 0 \end{array} $$ Cuando $a + b + c = 0$, $s_1 = 0$ y $1^{st}$ ecuación de $p_1 - s_1 = 0$ nos dicen $p_1 = 0$.
Sustituir de nuevo en $2^{nd}$ $4^{th}$ ecuaciones de llevar a

$$\begin{cases} p_2 = -2s_2,\\ p_4 = -s_2 p_2 \end{casos} \quad\implica\quad 2(a^4+b^4+c^4) = 2p_4 = -2s_2 p_2 = p_2^2 = (a^2+b^2+c^2)^2$$

Answer 4

$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=?$$

Ahora $$(a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$

$$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-abc(a+b+c)=?$$

Answer 5

Desde $$2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-a^4-b^4-c^4=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=0,$$ obtenemos $$2(a^4+b^4+c^4)=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=(a^2+b^2+c^2)^2.$$ Hecho!