Considere la posibilidad de la transformación de coordenadas \begin{align*} x &= r\sin\theta\cos\phi \\ y &= r\sin\theta\sin\phi \\ z &= r\cos\theta \end{align*} a partir de coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ a coordenadas rectangulares $(x,y,z)$. Aquí $r$ es el radio, $\theta$ es la inclinación, y $\phi$ es el azimut. Su Jacobiano $$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)} = r^2\sin\theta$$ se desvanece en el $z$-eje.
De acuerdo a C. Lanczos en Los Principios Variacionales de la Mecánica :
[El Jacobiano de una transformación de coordenadas se pueden desvanecer] en ciertos puntos singulares, que han de ser excluidos de la consideración. Por ejemplo, [para la transformación de coordenadas de arriba] hay que tener especial cuidado en los valores de $r = 0$$\theta = 0$, por lo que el Jacobiano de la transformación se desvanece.
Pregunta :
Son puntos en los que el Jacobiano de una transformación de coordenadas se desvanece "excluidos de la consideración" en total o incluidos en el análisis, pero manejó con "especial cuidado"?
Tal vez un problema (del mismo libro) va a aclarar la cuestión.
Caracterizar la posición de un péndulo esférico de longitud $l$ por coordenadas esféricas $r$, $\theta$, $\phi$ y obtenemos : \begin{align*} T &= \frac{m}{2}l^2\Big(\dot{\theta}^{\,2} + \sin^2\!\theta \,\dot{\phi}^{\,2}\Big), \\ V &= mgl(1 - \cos\theta). \end{align*} Forma de las ecuaciones de Lagrange del movimiento.
El Lagrangiano es $$L = T - V = \frac{m}{2}l^2\Big(\dot{\theta}^{\,2} + \sin^2\!\theta \,\dot{\phi}^{\,2}\Big) + mgl(\cos\theta - 1).$$ Desde \begin{gather*} \partial_{\dot{\theta}}L = ml^2\dot{\theta}, \\ \partial_\theta L = ml^2\sin\theta\cos\theta\,\dot{\phi}^{\,2} - mgl\sin\theta, \\ \partial_{\dot{\phi}}L = ml^2\sin^2\!\theta\,\dot{\phi}, \\ \partial_\phi L = 0, \end{reunir*} el Lagrangiano de las ecuaciones de movimiento son \begin{gather*} \frac{d}{dt}\Big(ml^2\dot{\theta}\Big) - ml^2\sin\theta\cos\theta\,\dot{\phi}^{\,2} + mgl\sin\theta = 0 \\ \frac{d}{dt}\Big(ml^2\sin^2\!\theta\,\dot{\phi}\Big) = 0 \end{reunir*}
En la solución a este problema, debe ser que los puntos de la $z$-eje son "excluidos de la consideración"? O deberían ser incluidos, pero tratados con "especial cuidado"?
En particular:
- Hacer las ecuaciones en este problema (para la energía potencial y cinética; la de Euler-Lagrange las ecuaciones) en el $z$-eje?
- Hacer las derivadas parciales $\partial_r$, $\partial_\theta$, $\partial_\phi$ (como se define en la geometría diferencial) existen en el $z$-eje?
