Ecuación lineal con raíz cuadrada

Question

La ecuación lineal en dos variables debe tener la forma $ax+by=c$. ¿Pero podemos ver $\sqrt{x+y}=2$ como una ecuación lineal? Porque si elevamos ambos lados al cuadrado obtenemos $x+y=4$ y ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto de soluciones.

Answer 1

Dada cualquier función $f$, siempre podemos tomar la ecuación lineal

$$ax+by=c,$$

y aplicar $f$ a ambos lados:

$$f(ax+by)=f(c).$$

La ecuación resultante generalmente no será lineal a menos que $f$ sea una función lineal. Recordemos que una función lineal se define como aquella que satisface la propiedad

$$f(ax+by)=a f(x) + b f(y),$$

entonces en ese caso obtenemos

$$a f(x) + b f(y)=f(c),$$

que es una función lineal en las variables $f(x)$ y $f(y)$.

En tu caso $f(x) = \sqrt{x}$, lo cual no es una función lineal, ya que no satisface la propiedad mencionada anteriormente. Por lo tanto, la ecuación obtenida no es lineal.

Adición: Aquí he utilizado la definición común donde una ecuación lineal es una ecuación algebraica de grado 1 (y una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de grado 2, y así sucesivamente). Por lo tanto, a pesar de que el conjunto de soluciones de la ecuación $f(ax+by)=f(c)$ es una línea recta, la ecuación no deja de ser no lineal a menos que $f$ sea una función lineal. (Ver comentarios.)