Estoy tratando de resolver el siguiente problema.
Deje $p$ me de un primer y $L$ lineal en el mapa de$\mathbb{F}_p^n$$\mathbb{F}_p^n$. Supongamos que no existe $k\geqslant 0$ tal que $L^{p^k}=1$ donde $1$ significa que la identidad del mapa de$\mathbb{F}_p^n$$\mathbb{F}_p^n$. Demostrar que no existe un no-vector cero $v$ tal que $L(v)=v$.
Estoy tratando de resolver esto en el contexto de las acciones del grupo. Desde $L^{p^k}=1$ el grupo generado por $L$ es cíclico de orden $p^k,$ vamos a llamar a $G$. Definimos $\cdot: G \times \mathbb{F}_p^n \to \mathbb{F}_p^n$ mediante el establecimiento $L^m\cdot v = L^m(v).$ no es difícil comprobar que $\cdot$ es de hecho una acción.
Ahora bien, para concluir lo que quiero necesito mostrar que $L$ es un elemento de $Stab(v)$ para algunos no-cero $v$. Esto es equivalente a demostrar que $Stab(v)=G$ algunos $v$ o, incluso, que el $orb(v)=\{v\}$ para algunos no-cero $v$.
He tratado de hacer esto directamente, pero no parece fácil, entonces traté de contradicción: supongamos que para todo $v \in \mathbb{F}_p^n$, $L(v)\neq v$ a continuación, $L \notin Stab(v)$ para todos los no-cero $v$. Entonces a partir de la $Stab(b)\leqslant G$, en su orden tiene que ser una potencia de $p$, pero no $p^k$. Entonces tenemos dos opciones, o bien el orden es$1$, lo que implicaría que la acción es transitivo o el orden es distinto de cero poder de $p$. Pero no sé cómo derivar una contradicción a partir de aquí.
Otra cosa que yo también a pesar de que estas acciones induce la homomorphism $\phi:G\to S_{\mathbb{F}_p^n}$ mediante el establecimiento $\phi(L^m)(v)=L^m(v)$. Lo que pude probar fue el que $\phi$ es inyectiva ya que $\phi(L^m)=1$ implica $\phi(L^m)(v)=v$ todos los $v$, $L^m(v)=v$ todos los $v$ y, a continuación, $L^m=1.$ a partir De esto podemos ver que $G$ es isomorfo al grupo $\{L^m; m\in \mathbb{N}\}$.
No sé nada más de pensar en el contexto de las acciones del grupo, así que creo que ya he tocado la clave para solucionar el problema, pero no puedo ver por mí mismo. Podría alguien echar un vistazo a esto y mostrar a DÓNDE me podría dar más atención a resolverlo?
Por favor, me gustaría resolver por mí mismo, porque yo tengo un Álgebra qualyfing examen el próximo miércoles y que realmente necesita para aprender, así que yo realmente apreciaría buenos consejos para mi solo para dar algunos pasos más... no me gustaría tener una respuesta completa.
Muchas gracias!
