Son todos pseudoscalars secreto bosones de Goldstone?

Question

Un pseudoscalar bosón de Goldstone, $\pi(x)$, está protegido por un cambio de simetría: se presenta con un derivado en sus términos de interacción en una de Lagrange. Como pseudoscalar, también podemos escribir en ella con la habitual $i\gamma^5$ interacción. Así pues, hay dos maneras de codificar la interacción:

1. Cambio de simetría manifst: $$\mathcal L = \left(\frac{\partial_\mu \pi}{v}\right)\bar\Psi\gamma^\mu \gamma^5\Psi$$

2. Pseudoscalar manifiesto: $$\mathcal L = g \pi \bar\Psi i\gamma^5 \Psi$$

Estos dos están relacionados por la ecuación de movimiento, por lo que el $g = 2qm/f$ donde $m$ es el fermión de masa, $f$ es el parámetro de orden de la ruptura de la simetría, y $q$ es el costo con respecto a los quebrantados de simetría axial.

Mi pregunta es: En el cambio de la simetría de manifiesto de forma, sabemos que fermión bucles, no se genera un pseudoscalar masa. Sin embargo, pseudoscalar forma manifiesta de la interacción se ve como un genérico pseudoscalar interacción con la no simetría de la protección de $\pi$ a partir de la recepción de la masa correcciones de $\Psi$ bucles. Así:

1. ¿Cómo podemos ver que $\pi$ está protegida por una simetría cuando escribimos la interacción en el manifiestamente pseudoscalar formato?

2. Por el contrario, podría escribir cualquier pseudoscalar interacción como $ g \pi \bar\Psi i\gamma^5 \Psi$ ¿significa esto que puedo usar el fermión ecuación de movimiento para convertir cualquier pseudoscalar interacción en uno que tiene un cambio de simetría?

Siga los detalles, pero la pregunta principal es indicado anteriormente.

Ejemplo

Configurar: Goldstone de la interacción con los fermiones

Nos muestran cómo convertir entre el cambio-simétrica y pseudoscalar las formas de la interacción. Por simplicidad, supongamos el caso de un mundial, interna, compacto U(1) la simetría que espontáneamente es roto por un campo de $H$ que obtiene un vev $\langle H \rangle = f$. Deje que la teoría contiene un zurdo fermión $\psi_L$ y un diestro fermión $\psi_R$. Asumir axial U(1) los cargos que

$$P[H] = 2t\\ Q[\psi_L] = q\\ Q[\psi_R] = -q$$

Entonces podemos escribir la teoría con una interacción de Yukawa:

$$\mathcal L_\text{Yuk} = y H^*\bar\psi_L \psi_R + \text{h.c.}$$

Ahora podemos "sacar la Goldstone campos" de los campos. En orden a ello, transformamos cada campo $\Phi \in \{H,\psi_L,\psi_R\}$ por espontáneamente ruptura de la simetría:

$$ \Phi = e^{iq_\Phi \epsilon} \Phi'$$

En el lado derecho, $\Phi'$ se entiende por el campo sin Goldstone componente. La Goldstone vive en la exponencial. Para la U(1), $\epsilon$ es la transformación de parámetros, y $q_\Phi$ es el U(1) la carga de la $\Phi$.

Luego simplemente promover la transformación de parámetro para la Goldstone campo, $\epsilon \to \pi(x)/f$. Esta es una transformación no lineal para ayudar a identificar la Goldstone de la interacción (Sec 19.6 de Weinberg Vol II, o CCWZ II). Esto le da

$$ \Phi(x) = \exp\left(iq_\Phi \frac{\pi(x)}{f}\right) \Phi'$$

Cuando hacemos esto, $$\mathcal L_\text{int} = y H'^* e^{-2iq} \bar \psi_L' e^{ci} e^{ci} \psi_R' + \text{h.c.} = y H'^*\bar \psi_L' \psi_R' + \text{h.c.} $$

La Goldstone ha sido completamente eliminado de la Yukawa plazo y no aparecer por allí. Esto es una consecuencia de U(1) la conservación de la Lagrangiana plazo. ¿De dónde surgió la interacción ir? Sabemos que la Goldstone, debe tener un derivado de la interacción, por lo que el lugar natural para buscar es el fermión cinética plazo.

La escritura de la cinética de condiciones con el implícito de proyección de los operadores (como alternativa, puede sustituir a $\gamma^\mu$ $\sigma^\mu$ o $\bar\sigma^\mu$ según corresponda):

$$\mathcal L_\text{kin} = i \bar \psi_L \gamma^\mu \partial_\mu \psi_L + i \bar \psi_R \gamma^\mu \partial_\mu \psi_R $$

La sustitución de $\psi_{L,R}$ por los campos con la Goldstone sacó:

$$ \mathcal L_\text{kin} = i \bar \psi_L' e^{-iq \pi(x)/f} \gamma^\mu \partial_\mu \left( e^{ci \pi(x)/f}\psi_L' \right)+ = i \bar \psi_R' e^{ci \pi(x)/f} \gamma^\mu \partial_\mu \left( e^{-iq \pi(x)/f}\psi_R' \right)$$

Además de la habitual cinética términos, estos dan condiciones donde la derivada de actos de la Goldstone, $\pi(x)$. Estos son los términos de interacción que son nuestro principal objetivo. Por simplicidad, nos vamos a combinar la izquierda y mano derecha de quirales spinors $\psi_{L,R}'$ en un Dirac spinor, $\Psi = (F',f')^T$ y el uso de la proyección de los operadores de $\frac{1}{2}(1\pm \gamma^5)$:

$$\mathcal L_\text{int} = i \left(i\frac{q}{f}\partial_\mu \pi \right) \bar\Psi \gamma^\mu \frac{1}{2}\left(1-\gamma^5\right) \Psi + i \left(-i\frac{q}{f}\partial_\mu \pi \right) \bar\Psi \gamma^\mu \frac{1}{2}\left(1+\gamma^5\right) \Psi $$ Estos términos se combinan simplemente en: $$\mathcal L_\text{int} = \frac{q}{f}\left(\partial_\mu \pi\right)\bar\Psi \gamma^\mu \gamma^5 \Psi \ . $$

Llegamos así a la Goldstone--fermión término de interacción en el cambio simétrico de manifiesto de la forma: $\pi$ es invariante bajo$\pi(x) \to \pi(x) + c$, por lo que está protegido de las correcciones cuánticas que podría generar una masa plazo $m_\pi^2 \pi^2$.

Utilizando la ecuación del fermión de movimiento

Ahora podemos utilizar el fermión ecuación de movimiento para convertir este cambio-simétrica, en forma de $\mathcal L_\text{int}$ en uno que es manifiestamente pseudoscalar. Recordemos que la ecuación de movimiento en la notación de Dirac es:

$$i\gamma^\mu\partial_\mu \Psi = m\Psi$$

Armados con esto, ahora podemos integrar a $\mathcal L_\text{int}$ por partes a cambio de la derivada de la $\pi$ a la fermión bilineal. Suponemos que no hay superficie de plazo para que la integración por partes en la acción equivale a un signo menos y el traslado de la derivada en el Lagrangiano:

\begin{align} \mathcal L_\text{int} &= \frac{q}{f} \pi \partial_\mu \left(\bar \Psi \gamma^\mu \gamma^5 \Psi \right) \\ & = \frac{q}{f} \pi\left[ (\partial_\mu\bar\Psi)\gamma^\mu\gamma^5 \Psi + \bar\Psi \gamma^\mu \gamma^5 \partial_\mu \Psi \right] \\ & = \frac{q}{f} \pi\left[ (\partial_\mu\Psi)^\dagger \left(\gamma^0\gamma^\mu \gamma^0\right) \gamma^0\gamma^5 \Psi - \bar\Psi \gamma^5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi \right] \\ & = \frac{q}{f} \pi\left[ (\gamma^\mu\partial_\mu\Psi)^\dagger \gamma^0\gamma^5 \Psi - \bar\Psi \gamma^5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi \right] \\ & = \frac{q}{f} \pi\left[ (-im\Psi)^\dagger \gamma^0\gamma^5 \Psi - \bar\Psi \gamma^5 \left(-im\Psi\right) \right] \\ & = \frac{2iqm}{f} \pi \bar\Psi\gamma^5 \Psi \ . \end{align}

Esto ahora nos da nuestra manifiestamente pseudoscalar interacción entre la Goldstone $\pi$ y los fermiones.

La reiteración de los rompecabezas

Para que el rompecabezas es que:

• El cambio-simétrica y manifiestamente pseudoscalar las formas de la interacción parecen perfectamente equivalentes.

• Sin embargo, la pseudoscalar forma de la interacción parece perfectamente general. Uno podría sintonizar el fermión de masa $m$ a ser lo que quieras, mediante la optimización de la Yukawa acoplamiento $y$. Esto, a su vez, melodías $g = 2qm/f$ a cualquier pseudoscalar de acoplamiento. ¿Esto significa que cualquier pseudoscalar interacción entre masiva fermiones puede ser escrito como una Goldstone de la interacción?

• En la manifiestamente pseudoscalar versión de la teoría, son bucle contribuciones a la $\pi$ masa manifiestamente cero? Esto no parece genéricamente ser el caso. (Ver, por ejemplo, en esta discusión se basa en un problema de Peskin & Schroeder)

• Así: en el caso de que realmente hay un espontáneamente ruptura de la simetría, no debe ser un cambio de simetría de la protección de la $\pi$, pero ¿cómo podemos ver el efecto de ese cambio de simetría en el cálculo de los bucles en el pseudoscalar teoría?

• Alternativamente, si tomamos un genérico pseudoscalar teoría con ningún cambio de simetría (es decir, el pseudoscalar es no un Goldstone), entonces, ¿qué me impide el uso de la ecuación de movimiento para escribir la interacción en un manifiestamente shift-simétrica forma y agitando mis manos que debe haber un cambio de simetría?

Answer 1

Las dos teorías, a saber, el `gradiente de modelo" $\partial_\mu\pi \bar{\Psi}\gamma^5\gamma^\mu\Psi$ y el Yukawa modelo de $g\pi\bar{\Psi}\gamma^5\Psi$ (ambos con una masiva $\Psi$), definitivamente no son equivalentes. Tienen diferentes tipos de simetrías y de espectro de amplitudes de dispersión, por lo tanto son físicamente distintas teorías. El principal error que usted (el OP) están haciendo es usar el libre ecuaciones de movimiento para los fermiones, pero eso está bien sólo para el exterior de las piernas y no para los virtuales que entrar por ejemplo en el bucle de cálculo de la $\pi$ en masa, o como les voy a mostrar a continuación en una dispersión de amplitud, con un intermedio virtual $\psi$ intercambiados. (El error que Cosme Zachos estaba haciendo en su anterior respuesta, y que en parte se sigue haciendo en la mejoró marginalmente respuesta es explicado en mi comentario a su respuesta, yo no voy a repetir aquí).

El gradiente modelo es, de hecho, invariante bajo$\pi\rightarrow \pi+const$, lo que claramente prohíbe a una masa plazo para $\pi$. Este no es el caso de la Yukawa modelo donde una simple masa es necesario para eliminar el cuadrática divergentes de masa generados por el fermión de bucles. Un físico polo de masa es, por tanto, genéricamente distinto de cero, salvo el ajuste fino.

Lo que es más importante, los bosones de Goldstone (GB) no sólo son partículas sin masa, que tiene varias características especiales. Por ejemplo, la suavidad de Egb (que es el límite de la desaparición de $\pi$-impulso) dan a la fuga de dispersión de las amplitudes (el llamado Adler condición de cero). Esto se realiza para que el gradiente de la teoría, pero no por la teoría de Yukawa. Vamos a ver esto con más detalle mirando un físico de dispersión de la amplitud de la $\pi\Psi\rightarrow \pi\Psi$. Para la teoría de Yukawa, uno tiene $$ M^{Yukawa}_{\pi\Psi\rightarrow\pi\Psi}=g^2 \left[\bar{u}(p_2^\prime\frac{i(\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha-m)}{s-m^2+i\epsilon}u(p_2)+\mbox{cruzado diag.}\a la derecha] $$ para $\pi(p_1)\Psi(p_2)\rightarrow\pi(p_1^\prime)\Psi(p_2^\prime)$. El $\gamma^5$ se han movido y simplificado con el numerador de la fermión propagador, es decir,$\gamma^5i(\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha+m)\gamma^5=-i(\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha-m)$. Podríamos haber simplificado el numerador el uso de $\gamma_\alpha p_2^\alpha u(p_2)=m u(p_2)$ donde $m$ es el fermión de masas, pero es más cómodo de esta forma en la siguiente. Hay un s-la contribución de los canales, de forma explícita, junto con un cruzado diagrama que nosotros no muestran explícitamente.

(descargo de responsabilidad: yo estoy haciendo este cálculo a mano en un Ipad, espero que no sea manifiestamente incorrecta :-), aunque los factores de 2 y menos señales son más propensos off)

Esta $M^{Yukawa}_{\pi\Psi\rightarrow\pi\Psi}$ no desaparecen por $p_1\rightarrow 0$, ya que, aunque el numerador tiende a cero (es decir,$\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha-m)u(p_2)=\gamma_\alpha p_1^\alpha u(p_2)\rightarrow 0$), lo hace el denominador a la misma tasa ($s-m^2=2p_{1\alpha} p_2^\alpha\rightarrow0$; aquí estoy asumiendo que hemos afinado el espectro a ser la misma, que es el $\pi$ masa en el Yukawa modelo ha sido adaptado a cero por la mano, de lo contrario, el numerador ni siquiera se desvanecen y la comparación entre los dos modelos, no tendría ningún sentido).

Por otro lado, para el gradiente de la teoría de la conseguimos $$ M^{gradiente}_{\pi\Psi\rightarrow\pi\Psi}=\frac{1}{f^2}\left[\bar{u}(p_2^\prime\frac{i(\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha-m)^3}{s-m^2+i\epsilon}u(p_2)+\mbox{cruzado diag.}\right]\rightarrow 0 $$ que no sólo es diferente (por lo tanto, las dos teorías son físicamente distintos, período), pero da una fuga de amplitud en el GB soft limit $p_1\rightarrow 0$ desde el numerador puede ser escrito como $i\bar{u}(p_2^\prime)(\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha-m)^3u(p_2)=i\bar{u}(p_2^\prime)\gamma_\alpha p_1^{\prime\alpha}(\gamma_\beta p_1^\beta+\gamma_\beta p_2^\beta-m)(\gamma_\gamma p_1^\gamma)u(p_2)$, y para el impulso de la conservación de $p_1^\prime\rightarrow 0$.

Con todo, la comida para llevar mensaje es: los dos modelos son distintos física y matemáticamente. El gradiente de la teoría describe un GB, mientras que el Yukawa teoría describir un escalar con una masa sintonizada a ser cero.

Answer 2

Usted está realmente haciendo una pregunta sobre el control de $U(1)_A$ simetría de un sabor σ-modelo. Se necesitan, por tanto, a la primera pantalla de la simetría son realmente de sondeo.

Vamos a empezar desde el lineal σ-modelo. De manera esquemática (de ser arrogante con todos los factores...), $$ {\cal L}_{lin}= i\bar{\Psi}\partial \!\! / ~\Psi +\tfrac{1}{2} \partial \pi \cdot \partial \pi +\tfrac{1}{2} \partial \sigma \cdot \partial \sigma + g \bar\Psi (\sigma +i\gamma_5 \pi) \Psi -V(\pi,\sigma), $$ invariantes bajo la U(1)_Unasimetría, $$ \delta \Psi= \frac{i}{2}\theta \gamma_5 \Psi\\ \delta \sigma= \theta \pi,\\ \delta \pi= -\theta \sigma, $$ lo que usted debe revisar las hojas de la cinética, Yukawa, en términos de invariantes; y dictar lo hace en el establo potencial; usted puede elegir el último a ser Goldstone del sombrero, etc, pero supongo que usted está familiarizado con el SSB monkey business, y usted sabe cómo llevar a cabo el requisito de campo turnos, etc.

La correspondiente (en cáscara) se conserva actual es $$ J_A^{\mu}=-\tfrac{i}{2} \bar\Psi \gamma_5 \gamma^{\mu} \Psi + \pi \partial_\mu \sigma \sigma \partial_\mu \pi, $$ por lo $ \partial\cdot J_A=0$.

Ahora, suponiendo que el potencial mínimo impone $\langle \pi\rangle =0$, $\langle \sigma\rangle=-f$ y la redefinición de $\sigma\equiv \sigma ' -f$, s.t. $\langle \sigma' \rangle=0 $, observar esto le da a la fermión una masa m=gf, y el σ' una masa depende de la arbitrariedad de la curvatura de la potencial V en su mínimo--que usted puede tomar para ser grande, por lo que el escalar σ' puede hacerse arbitrariamente masiva, así como a separar, desde el bajo modelo energético.

El resultado es el asociado de baja energía σ-modelo, prácticamente trivial, que implica, fundamentalmente, una masa goldston π, $$ {\cal L}_{bajo}= i\bar{\Psi}\partial \!\! / ~\Psi - gf \bar\Psi \Psi +\tfrac{1}{2} \partial \pi \cdot \partial \pi + g \bar\Psi i\gamma_5 \pi \Psi +\sigma' ~ {\mathrm}, $$ invariantes bajo $$\delta \Psi= \frac{i}{2}\theta \gamma_5 \Psi \qquad \delta \pi= \theta f ~~~(-{\small \theta \sigma'}), \qquad ({\small \delta \sigma'= \theta \pi}), $$ así que $$ J_A^\mu=-\tfrac{i}{2} \bar\Psi \gamma_5 \gamma^{\mu} \Psi + f\partial_\mu \pi ~~~(+{\small \pi\partial_\mu \sigma' - \sigma'\partial_\mu \pi}). $$ Este sello de cambio en la transformación de la ley para la π identifica como un bosón de Goldstone.

(Nota añadida para abordar las preocupaciones de @TwoBs: de hecho, un residuo de plazo en la variación de aquí es cancelado por el $-\theta \sigma'$ originalmente a la izquierda del $\delta \pi$, y la omitido $g\bar{\Psi} \sigma' \Psi$ en el lagrangiano. Estoy omitiendo el ultra-pesado σ aquí, que todavía son necesarias para la plena axial de la invariancia, aunque fuera de la vista aquí. Sin embargo, las amplitudes de los lineales de sigma modelo de hacerlo, por supuesto, han Adler ceros, como es bien sabido; sin embargo, la ππσ' vértice en el potencial está involucrado.)

Esta simetría entra en el y se restringe la teoría de la perturbación y "protege" el árbol de nivel masslessness de la Goldstone modo de π, como un inducida por la masa para que se rompiese. (De hecho, mucho más transparente que en su forma natural en desuso derivados modelo de acoplamiento, básicamente no relevantes para la cuestión. Ver VanderBij & Veltman 1984 para los escollos del infinito-Higgs-límite de masa.)

A continuación, puede ver que la comparación con el unrenormalizable gradiente modelo es completamente gratuito, y evitables. El pseudo escalar Yukawa término de por sí tiene todos los ingredientes fundamentales de un SSB simetría en ella, y al instante hizo axialmente invariante con un inocuo σ escalar Yukawa, y un potencial de su diseño, renormalizable si lo desea, elegido para minimizar los efectos más visibles de la σ. El lineal σ (modelo de cuyo no-abelian generalización es el sector de Higgs del modelo estándar) es el prototipo de toda la futura variante de representaciones y ajustes son ineludiblemente basado en.

Comida para llevar: Una masa pseudoscalar acoplamiento a un fermión en una paridad-la preservación de Yukawa modo de perforce es (o puede ser, naturalmente, promovido a) un goldston de un axial SSB y continuará siendo así en la teoría de la perturbación, a menos extraños acoplamientos explícitamente estropear este privativas de la libertad simetría axial.

Añadido Ref: El histórico 1960 σ-modelo de documento revisado en la mayoría de los buenos textos es tan bueno como cualquier otro para restablecer la brújula.