Si $|z|=1$ , $z\neq-1$ , demuestran que $z$ puede expresarse de la forma $ z=\frac{1+it}{1-it}$ donde $t\in \mathbb{R}$ .

Question

Si $|z|=1$ , $z\neq-1$ , demuestran que $z$ puede expresarse de la forma

$$ z=\frac{1+it}{1-it},$$

donde $t\in \mathbb{R}$ .

No sé, cómo empezar. Empecé con las condiciones dadas. Dado que $|z|=1 \text{ and } z\neq-1\implies z=e^{it}, t\in[0,2\pi]/\{\pi\}.$

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\frac{1 + i \tan \frac{\theta}{2}}{ 1 - i \tan \frac{\theta}{2}} = \cdots$$

(una imagen puede hacerlo evidente)

Answer 2

Sin apelar a la forma polar, utilizando sólo el álgebra compleja...

Resolver para $z-1$ da $z-1= it(1+z)$ y como $z \neq -1$ podemos dividir para obtener $$ \frac{z-1}{z+1} = it. $$

Escriba $z=a+bi$ y empezar a hacer el álgebra a la izquierda. No es difícil (conjugar por el denominador). Cuando te des cuenta de que $a^2+b^2=1$ terminas con $$ \frac{z-1}{z+1} = \frac{2bi}{2a+2} = it. $$ Por lo tanto, $t = \frac{2b}{2a+2} = \frac{b}{a+1}$ debería funcionar, y puedes comprobarlo.

Answer 3

Al igual que Randall, yo empezaría por resolver que $$ it=\frac{z-1}{z+1}. $$ Pero a partir de este punto yo usaría el hecho de que $1=|z|^2=z\overline{z}$ . Esto permite una reescritura $$ it=\frac{z-1}{z+1}=\frac{z-z\overline{z}}{z+z\overline{z}}=\frac{1-\overline{z}}{1+\overline{z}}=-\overline{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}=-\overline{it}. $$ Esto implica que $t$ debe ser real.

Answer 4

$$ \frac{1+it}{1-it} = \frac{(1-t^2) + 2it}{1+t^2} = \frac{1-t^2}{1+t^2} + i \frac{2t}{1+t^2} = x+iy, \qquad x,y\in\mathbb R. $$ ¿Puede demostrar que $t= \dfrac y {1+x}$ ?

Eso significa que si $x^2+y^2=1$ entonces $t=\dfrac y{1+x}$ lo hará, y ves por qué excluyeron $z=-1,$ ya que en ese momento el denominador $1+x$ est $0.$

Answer 5

Tenga en cuenta que

$\dfrac{1 + it}{1 - it} = \dfrac{(1 + it)^2}{(1 + it)(1 - it)} = \dfrac{(1 + it)^2}{1 + t^2} = \dfrac{(1 - t^2) + 2it}{1 + t^2} = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2} + \dfrac{2it}{1 + t^2}; \tag 1$

desde

$(1 - t^2)^2 + (2t)^2 = 1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2 = 1 + 2t^2 + t^4 = (1 + t^2)^2, \tag 2$

hay un único $\theta \in (-\pi, \pi)$ tal que

$\cos \theta = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tag 3$

y

$\sin \theta = \dfrac{2t}{1 + t^2}; \tag 4$

entonces podemos tomar

$z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta} \tag 5$

y por lo tanto

$\vert z \vert = 1. \tag 6$

Mostramos cada uno de estos $z \ne -1$ puede ser representado así. Obsérvese que $z = -1$ se excluye desde entonces $\sin \theta = 0$ , lo que implica $t = 0$ De ahí que $\cos \theta = 1$ forzando $z = 1$ Así que $\theta \ne \pi, -\pi$ . Para todos los demás $\theta \in (-\pi, \pi)$ la ecuación

$\cos \theta = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2} \tag 7$

puede escribirse

$(1 + \cos \theta)t^2 = 1 - \cos \theta, \tag 8$

y así tenemos

$t = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}, \tag 9$

lo que da lugar a los dos valores posibles de $\sin \theta$ a través de (4), mostrando cada $z \ne -1$ con $\vert z \vert = 1$ puede expresarse así.

Nota: La correspondencia $e^{i \theta} \longleftrightarrow (1 + it)/(1 -it)$ es importante en la teoría de los operadores en el espacio de Hilbert. Véase esta página de la wikipedia sobre el Transformación de Cayley . Fin de la nota.