Demostrar que $2\left(\frac{6}{e}\right)^e>17$

Question

Estaba haciendo algunos ejercicios en mi libro de texto de cálculo y para terminar uno, necesito demostrar que $$2\left(\frac{6}{e}\right)^e>17.$$ Se supone que esto es sencillo (,,fácil de notar'', dice el libro de texto). Sin embargo, no puedo resolverlo sin una calculadora (17,2 es el valor exacto del lado izquierdo). Mi única idea era utilizar la desigualdad de Bernoulli: $$2\left(\frac{6}{e}\right)^e=2\left(1+\left(\frac{6}{e}-1\right)\right)^e\ge 2\left(1+e\left(\frac{6}{e}-1\right)\right)=2(7-e)=14-2e$$ pero esto es demasiado débil. ¿Podría alguien darme alguna pista?

Answer 1

$$2\left(\frac{6}{e}\right)^e>17.$$ $$e=2.718$$ Tomando $\log$ a la base $e$ o $\ln$ ' Para demostrar que L.H.S>R.H.S $$\ln2+e(\ln6-1)>\ln17$$ Consulte la tabla de registros

$\ln2=0.693$ , $\ln6=1.791$ , $\ln17=2.833$ $$0.693+2.718\times(1.791-1)>2.833$$ $$2.842>2.833$$