¿El corchete de Poisson $\{f,g\}$ tienen algún significado si ninguno de los dos $f$ o $g$ es el Hamiltoniano del sistema?

Question

Digamos que uno tiene un sistema mecánico con hamiltoniano $H$ y otros dos observables arbitrarios $f,g$ . $H$ es súper útil ya que $\{H, \cdot\} = \frac{d}{dt}$ . Pero, ¿es así? $\{f,g\}$ ¿dar alguna información útil en sí misma?

Actualmente estoy repasando "Lectures on Quantum Mechanics for Mathematics Students" de Faddeev y Yakubovskii (sin mucha experiencia en física clásica).

Answer 1

Bueno, $\{f, \cdot \}$ De forma similar a $\{H,\cdot\}$ , calcula la derivada del argumento $\cdot$ con respecto a la acción del grupo de transformaciones canónicas de un parámetro generado por $f$ (véase la nota siguiente para la definición completa) $$\phi_a^{(f)} : F \to F\:,\quad a \in \mathbb R\:,$$ Satisfaciendo a $$\phi_a^{(f)} \circ \phi_b^{(f)}= \phi_{a+b}^{(f)}\:, \quad\phi_{-a}^{(f)} = (\phi_a^{(f)})^{-1} \:, \quad \phi_0^{(f)}= id$$ Aquí $F$ es el espacio de las fases. Efectivamente, se cumple (ver más abajo) $$\{f,g\}(x)= \frac{d}{da}|_{a=0} g(\phi_a^{(f)}(x))\:,\tag{1}$$ donde $g: F \to \mathbb R$ es suficientemente regular.

Por lo tanto, $\{f,g\}(x)=0$ en todas partes en $F$ significa que $g$ es invariante bajo el grupo de transformaciones generado por $f$ (el hecho de que la derivada se calcule en $a=0$ es irrelevante, ya que la estructura de grupo implica que la derivada desaparece para cualquier valor de $a$ ).

En particular $\{f,H\}=0$ significa que la función hamiltoniana es invariante bajo la acción generada por $f$ . Este hecho es notable porque da lugar a la versión hamiltoniana de Teorema de Noether .

De hecho, desde $\{H,f\}=- \{f,H\}=0$ La invariabilidad de $H$ bajo la acción de $f$ es equivalente a la invariancia de $f$ bajo la acción de $H$ (es decir, bajo evolución temporal ). En otras palabras,

$H$ es invariante bajo la acción del grupo de transformaciones canónicas de un parámetro generado por $f : F \to \mathbb R$ si y sólo si $f$ es constante a lo largo del movimiento del sistema físico.

Por último, dejemos que $X_h$ sea el campo vectorial sobre $F$ tangente a las órbitas de las curvas $\mathbb R \ni a \mapsto \phi_a^{(h)}(x)$ por cada $x\in F$ (este campo vectorial se define completamente en la nota siguiente). Dado que $$[X_f,X_g]=X_{\{f,g\}} \tag{1'}\:,$$ $\{H,f\}=0$ implica que, si $t \mapsto x(t)$ resuelve las ecuaciones de Hamilton, $t \mapsto \phi^{(f)}_a(x(t))$ lo hace para cada valor de $a$ . En otras palabras, $\{H,f\} =0$ también implica que el grupo de transformaciones canónicas generado por $f$ transforma los movimientos del sistema físico en movimientos del sistema también.

(a) $\{f,g\}=0$

implica, a través de (1') y utilizando $X_0=0$ que

(b) la acción del grupo de transformaciones sobre los estados del sistema (puntos en $F$ ) y en observables (funciones de valor real en $F$ ) generado por $f$ y el generado por $g$ de viaje.

Desde $X_h=X_l$ si y sólo si $h=l + const.$ En este caso, las dos afirmaciones (a) y (b) no son completamente equivalentes. Esta no equivalencia resulta ser fundamental en los procedimientos de cuantificación ya que permite tratar con RCC y extensiones centrales de grupos.

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NOTA sobre las definiciones utilizadas

[1] si $\omega$ es la forma simpléctica en $F$ , el Campo hamiltoniano asociado a $f\in C^\infty(F,\mathbb R)$ es definido como el único campo vectorial, $X_f$ , de tal manera que $$\omega_x(X_f,u)= \langle df_x, u\rangle \tag{2}$$ para cada vector $u \in T_xF$ . $X_f$ se define de forma única de esta manera ya que $\omega$ es no degenerado por definición.

[2] El grupo de un parámetro de difeomorfismos canónicos $\phi^{(f)}$ generado por $f$ se define adecuadamente como sigue. $$\mathbb R \ni a \mapsto \phi_a^{(f)}(x) =: y_x(a)\in F \tag{3}\:,\quad \forall x \in F$$ donde $y_x$ es la única solución (máxima) de la Problema de Cauchy $$\frac{dy}{da} = X_f(y(a))\:, \quad y(0) =x \tag{4}$$ (Estoy asumiendo que la solución es completa, como sucede si $f$ se apoya de forma compacta en $F$ es compacta, de lo contrario hay que arreglar algunas sutilezas de clasificación de los dominios y $\phi_a^{(f)}(x)$ sólo se define localmente en la variable $a$ .)

[3] El Soporte de Poisson es definido como $$\{f,g\}:= \omega(X_f,X_g) \quad f,g \in C^\infty(F,\mathbb R)\:.\tag{5}$$

Con estas definiciones, (3) y (4) implican, como se afirma en el texto principal, que $X_f$ es tangente a las curvas $\mathbb R \ni a \mapsto \phi_a^{(f)}(x)$ . A continuación (4) y (5) producen fácilmente (1). Una expresión explícita de la acción de $\phi^{(f)}$ en una función $g : F \to \mathbb R$ , $$\left(\phi^{(f)*}_{a}[g]\right)(x):= g(\phi^{(f)}_{a}(x))$$ viene dada por la fórmula $$\phi^{(f)*}_{a}[g] = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a^n}{n!}\{f,\:\:\}^n g\:.$$ Esta identidad se cumple si $f,g$ son analíticos reales y no sólo suaves.

Por último, cabe destacar que las ecuaciones de (4) no son más que la norma Ecuaciones de Hamilton si $f$ se indica con $H$ .

Answer 2

Sí, lo es. De hecho, es una de las ( si no la) conclusiones más importantes de la mecánica cuántica. Si {f,g}= 0 significa que las variables tienen valores propios simultáneos, es decir, que se pueden medir ambas en el mismo instante de tiempo, pero {f,g} puede ser distinto de cero, lo que lleva a la conclusión teórica de que los estados propios de f y g no se pueden medir simultáneamente. Esta es la forma más general del Principio de Incertidumbre de Hisenberg.

para el tratamiento matemático tal vez quiera ver http://galileo.phys.virginia.edu/classes/751.mf1i.fall02/GenUncertPrinciple.htm