¿Es nᵐ > mⁿ si m > n?

Question

Recuerdo jugar con mi calculadora cuando era joven. Me gusto mucho números grandes por lo que sería perforar números grandes como $20^{30}$ para ver lo grande que es realmente.

En tal búsqueda, observar que $20^{30}$ es mayor que el valor de $30^{20}$. Hecho, en muchos casos, he encontrado que $n^m>m^n$el % si $m>n$.

¿Es esto un hecho general? ¿Si es así, puede ser probada?

Answer 1

Para un entero positivo $m$, considere la función $f(x)=m^x/x^m$. Y $g(x)=\ln f(x)=x\ln m-m\ln x$.

Entonces $$g'(x)=\ln m-\frac mx$$ lo que es positivo para $x>m/\ln m$. A continuación, $g$ es el aumento en el $(m/\ln m,\infty)$. Para $m>e$ tenemos $m>m/\ln m$$g(x)>0$$x>m$. Entonces, como se ha dicho en los comentarios,

$$n>m>e\implies m^n>n^m$$

Answer 2

Esto no es una respuesta que yo solo debe mostrar el gráfico. Me olvidé de la etiqueta del eje. La Horizontal es de $n$ y la otra es $m$

Espero que os guste

Answer 3

Otro intento:

Considere la función:

$f(x) := \dfrac{x}{\log x}$ , $x \gt e$ (decir), es estrictamente creciente, ya que

$f'(x) = \dfrac{\log x - 1}{(\log x)^2} \gt 0$ $x \gt e$.

$f(x_1) \lt f(x_2)$ $ x_1 \lt x_2$.

Con $x_1 = n$ , $ x_2= m $, $ n \lt m $ , $m,n$ los enteros positivos

$\dfrac{n}{\log n} \lt \dfrac{m}{\log(m)}$;

$n \log (m) \lt (m) \log n$;

$\log (m)^n \lt \log (n)^m$ ;

$\exp(\log (m)^n) \lt \exp (\log (n)^m)$;

$m^n \lt n^m$ $m\gt n.$

Answer 4

Usted está proponiendo que $n^m > m^n \iff n > m$. Sin embargo, hay muchos ejemplos en los que esto no es totalmente cierto.

Si $n = 2 \land m = 3 \implies n^m < m^n : n < m$

Si $n = 2 \land m = 4 \implies n^m = m^n : n < m$

Y obviamente si $n = 1 \land m > 1 \implies n^m < m^n : n < m$

Pero tal vez lo que usted está tratando de decir es que:

Si $n > m \implies n^m > m^n$ porque parece $n < m$ en estas contradiciendo ejemplos anteriores. Quiero decir, ¿por qué estos parecen ser los únicos ejemplos que contradicen? Con los ejemplos anteriores, sabemos que $n \neq m \neq 0 \lor 1 \because n^m < m^n$. Así que la mudanza de $1$ $2$donde$n = 2$$m > 2$, encontramos un pequeño cambio en la igualdad de los signos.

Para el primer ejemplo, $n^m < m^n$

Para el segundo ejemplo, $n^m = m^n$

Y parece que si $m > 2^2 = 4$, entonces su teoría es verdadera, donde $n^m > m^n$. Y parece que la razón de su teoría parece verdadera la condición de que $m > 2^2$ es debido a que debemos encontrar el primer $n^m \lor m^n : n \land m > 1$ (debido a $1 > 0$, lo que es obviamente $2^2$.

En resumen, la teoría no es que "si $n^m > m^n$$n > m$", sino que:

$$\text{if} \qquad n > m \implies n^m > m^n : n \land m \in \mathbb{W}$$

(desde $\mathbb{W}$ es el conjunto de todos los números de $\ge 0$ también conocido como "Números Enteros")

Answer 5

En términos simples, para los números enteros puede empezar con los más pequeños no. es decir,(1,2), (2,3), (2,4).

• $1^2 < 2^1$,
• $2^3 < 3^2$ y
• $2^4 = 4^2$.
  

En todos los casos anteriores $n^m > m^n$ era falsa para todo m>n. Mediante la observación del patrón para todo n>=2 y m>4 tenemos $n^m > m^n$ cierto. Considere la posibilidad de

• (2,5) $\implies$ 32 > 25 o
• (3,4) $\implies$ 81 > 64 o
• (4,100) $\implies$ (1.6 * 10^60) > 100000000 y así sucesivamente...
  

Así que, básicamente, incluso un número pequeño pero con gran exponente/potencia es mayor que un gran número de pequeñas exponente como se observó anteriormente, excepto para algunos casos. Más grande exponente más importante que un gran número de base.

Como para la prueba de la parte que usted puede tomar registro de $n^m$$m^n$.
Como la función de $\frac{\log x}{x}$ es una función decreciente para x > e($\approx$ 2.718)

$\implies$ $\frac{\log n}{n} > \frac{\log m}{m}$ (para m>n)

Por lo tanto, (como se ha mencionado en anteriores respuestas)
m > n > e $\implies$ $n^m > m^n$.