Demostrando $\sqrt{6}$ no es parte de un campo

Question

Actualmente estoy en un comienzo curso de análisis, y me piden demostrar que $F =\{a+b\sqrt2 +c\sqrt3 :a,b,c∈Q\}$, no es un campo.

Sé que esto viola la primera multiplicación axioma, que si $x,y \in F$$xy \in F$. Sin embargo, no sé cómo demostrar que $\sqrt6$ no puede ser escrita en la forma $a+b\sqrt2 +c\sqrt3,$ donde $a,b,c∈Q$. Es allí una manera de mostrar esta usando álgebra básica, y no entrará en el campo de las extensiones?

Answer 1

Supongamos $\sqrt{6}=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$ $a,b,c$ racional. Luego también $$ \sqrt{6}-a=b\sqrt{2}+c\sqrt{3} $$ y al cuadrado ambos lados de este, el único surd alrededor se $\sqrt{6}$, lo que hace la vida mucho más fácil. Usted debe ser capaz de manipular el resultado para mostrar que $$ (b^2-3)(c^2-2)=0 $$ lo que se contradice con el original de la racionalidad de la asunción.

Answer 2

Suponga $a+b\sqrt 2 + c\sqrt 3=\sqrt 6, a,b,c\in \Bbb Q$. A continuación, $\sqrt 6-b \sqrt 2=a+c\sqrt 3.$ Cuadrado ambos lados y a dos radicales. Aislarlos y de la plaza de nuevo y usted tiene uno.