Encuentre todas las soluciones a $|z+\sqrt{z^2-1}|=1$

Question

Estoy tratando de encontrar la solución establecida en $$|z+\sqrt{z^2-1}|=1$$

Estoy recibiendo $z\in [-1,1]$ lo que me hace un poco paranoico de que sea puramente un número real. ¿Puedes comprobar mi trabajo?

$$\begin{align}|z+\sqrt{z^2-1}|=1 &\implies z+\sqrt{z^2-1} = e^{i\theta} \\ &\implies z^2-1 = (e^{i\theta}-z)^2=e^{i2\theta}-2ze^{i\theta}+z^2 \\ &\implies 2ze^{i\theta} = e^{i2\theta}+1 \\ &\implies z = \frac{1}{2}\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right) = \cos(\theta) \\ &\implies z \in [-1,1]\end{align}$$

Answer 1

Ha demostrado con éxito que $z \in [-1, 1]$ . También debe demostrar que cada $z$ en ese rango es realmente una solución. Esto no es tan difícil, pero no puedes hacerlo simplemente ejecutando tu prueba actual hacia atrás; elevaste al cuadrado ambos lados de tu ecuación, lo que podría haber introducido soluciones extrañas.