Voy a probar que $\mathbb{F}^\infty$ es de dimensiones infinitas. Yo estaba pensando en hacer una prueba por inducción para demostrar que $(1,0,...),(0,1,0,...),...$ es una base. Es esto admisible? También, creo que podría hacer una prueba por contradicción y supongamos $\mathbb{F}^\infty$ a un ser finito-dimensional, y por lo tanto tienen una longitud finita, y, a continuación, mostrar que existe una $v\in\mathbb{F}^\infty$ tal que $v$ no está en el período de base. No estoy muy seguro de cómo mostrar que rigurosamente aunque.
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Dan Rust
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He aquí una muy simple prueba. Deje $f\colon \mathbb{F}^{\infty}\rightarrow \mathbb{F}^{\infty}$ ser dado por $f(x_0,x_1,x_2,\ldots)=(x_1,x_2,\ldots)$. Es fácil ver que $f$ es lineal. Tenga en cuenta que $\mbox{Im}\:f =\mathbb{F}^{\infty}$ pero $\ker f=\{(x_0,0,0,\ldots)\mid x_0\in\mathbb{F}\}\cong\mathbb{F}$, por lo que tenemos una surjective lineal mapa de un espacio vectorial a sí mismo que no es inyectiva. Esto no es posible para un finito dimensional espacios vectoriales por el rango de nulidad teorema y por lo $\mathbb{F}^{\infty}$ es de infinitas dimensiones.
Una prueba indirecta puede ser más sencillo que el que un boceto.
Supongamos que $K^\infty$ (o $K^{\mathbb N}$ -- eso no importa aquí) tiene dimensión finita $n$. Sabemos ya (espero) que en un finito-dimensional espacio vectorial no linealmente independiente puede tener más miembros de la dimensión. Pero $\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\ldots,\mathbf e_n,\mathbf e_{n+1}\}$ es claramente un conjunto linealmente independiente del tamaño de la $n+1$, lo $n$ no puede haber sido la dimensión, después de todo.
