Supongamos que tenemos un montón de seminorms la generación de la topología de un LCS $X$, esto significa que ellos están abiertos también los mapas de $p:X \rightarrow [0,\infty)$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cada valor distinto de cero seminorm en un espacio vectorial topológico es un espacio abierto de mapa; ni siquiera necesita ser continua. (Obviamente el cero seminorm $p(x) \equiv 0$ no está abierto, suponiendo que la considera una seminorm en absoluto).
Deje $p$ ser distinto de cero seminorm y deje $U$ ser abierta en $X$. Deje $a \in p(U)$. Vamos a mostrar a $a$ es un punto interior de a $p(U)$. Considerar dos casos: $a = 0$$a \ne 0$.
Supongamos $a = 0$. Entonces existe $x \in U$$p(x) = 0$. Desde $p$ no es el cero seminorm, existe $y \in X$$p(y) \ne 0$; por el reescalado, supongamos $p(y) = 1$. Puesto que la suma y la multiplicación escalar son continuas en a $X$ existe $\epsilon$ tan pequeño que para todos los $t \in [0,\epsilon)$ tenemos $x+ty \in U$. Ahora por el triángulo de la desigualdad y la homogeneidad de $p$, para que ese $t$ hemos $$p(x+ty) \le p(x) + t p(y) = t$$ y $$t = p(ty) = p(x + ty - x) \le p(x+ty) + p(-x) = p(x+ty)$$ así que, de hecho, $p(x+ty) = t$ e lo $t \in p(U)$. Por lo $[0,\epsilon) \subset p(U)$.
Supongamos $a \ne 0$. Entonces existe $x \in U$$p(x) = a$. Desde la multiplicación escalar es continua en a $X$ existe $\epsilon$ tan pequeño que $tx \in U$ todos los $t \in (1-\epsilon, 1+\epsilon)$. Desde $p(tx) = ta$ por la homogeneidad, tenemos $((1-\epsilon) a, (1+\epsilon)a) \subset p(U)$.
