Tenga en cuenta que por la elección de $x=a_{n-1}$, de Peano teorema tiene la siguiente consecuencia inmediata, para cualquier $a < b$$\epsilon > 0$.
Lema 1: Si $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ es diferenciable, entonces existe $x\in[a,b)$ satisfactorio
$$
\left\lvert\frac{f(b)-f(x)}{b-x}-f^\prime(x)\right\rvert\lt\epsilon.
$$
Este lema es obviamente cierto de forma continua para funciones diferenciables simplemente al $x$ a estar lo suficientemente cerca de a $b$. Para funciones no continuas derivados, sin embargo, las cosas son más difíciles, y la desigualdad pueden fallar por $x$ arbitrariamente cerca de $b$. A partir de este lema, también podemos ir en la dirección opuesta, y demostrar el teorema de Peano, que voy a hacer ahora. Yo también voy a dar una prueba de la Lema, mostrando que Peano del teorema es cierto.
En primer lugar, la forma natural de probar y demostrar el teorema de Peano es empezar con $a_0$ e inductivamente, a continuación, seleccione valores de $a_1,a_2,\ldots$. Una vez $a_i$ ha sido elegido, entonces, si $a_i=b$ hemos terminado. Si no, entonces, por la definición de la derivada de $f$$a_i$, no existe $a_{i+1}\in(a_i,b]$ la satisfacción de la necesaria desigualdad. Con el fin de maximizar la posibilidad de cubrir el intervalo de $[a,b]$ en un número finito de pasos, no sería prudente para elegir a $a_{i+1}$ tan grande como sea posible y $a_{i+1}=b$ si es posible. Por desgracia, este enfoque no siempre funciona, y es posible que sólo terminan generando una infinita aumento de la secuencia de $a_i$ en el intervalo de $[a,b)$.
Un método que tiene éxito es, en cambio, el trabajo desde la derecha a la izquierda. Es decir, comenzar por la elección de $b_0=b$ e inductivo definir una disminución de la secuencia $b_0\gt b_1\gt b_2\gt\cdots\gt b_n=a$ tal que
$$
\left\lvert\frac{f(b_i)-f(b_{i+1})}{b_i-b_{i+1}}-f^\prime(b_{i+1})\right\rvert\lt\epsilon.
$$
Luego de Peano teorema sigue tomando $a_i=b_{n-i}$.
Si, por cualquier $x\in(a,b]$ dejamos $S_x$ el conjunto de $y\in[a,x)$ $\lvert(f(x)-f(y))/(x-y)-f^\prime(y)\rvert\lt\epsilon$ a continuación, Lema 1 aplicado al intervalo de $[a,x]$ dice que $S_x$ es no vacío. La elección de una secuencia $\delta_0,\delta_1,\ldots$ de positivos reales tiende a cero, seleccione $b_0,b_1,\ldots$ como sigue.
- $b_0=b$.
- Una vez $b_i$ ha sido elegido, si $b_i > a$, a continuación, tome $b_{i+1}\in S_{b_i}$$b_{i+1}\le\inf S_{b_i}+\delta_i$. Si es posible, elija $b_{i+1}=a$.
- Si $b_i=a$, entonces hemos terminado.
Tenga en cuenta que, como Lema 1 implica que $S_{b_i}$ no está vacía cuando $b_i > a$, luego de este proceso continúa, ya sea indefinidamente o hasta que $b_i=a$.
Lema 2: La secuencia de $\{b_i\}$ termina con $b_n=a$ algunos $n$.
Prueba: (Nota: Esta prueba se asume Lema 1) el Uso de la prueba por contradicción, supongamos que la secuencia de $b_0,b_1,\ldots$ no termina. En este caso, se reduce a un límite de $c\in[a,b)$. Si $c=a$, entonces, por la definición de la derivada en $a$, $\lvert (f(b_i)-f(a))/(b_i-a)-f^\prime(a)\rvert\lt\epsilon$ grandes $i$. Por el procedimiento anterior, elegimos $b_{i+1}=a$ y la secuencia termina, lo que contradice la hipótesis.
Si $c > a$ a continuación, utilizando el Lema 1 aplicado al intervalo de $[a,c]$, existe un $x\in[a,c)$$\lvert(f(c)-f(x))/(c-x)-f^\prime(x)\rvert\lt\epsilon$. Por la continuidad de $f$$c$, $\lvert(f(b_i)-f(x))/(b_i-x)-f^\prime(x)\rvert\lt\epsilon$ para todos los gran $i$, lo $x\in S_{b_i}$. Por el procedimiento anterior, se elige $b_{i+1}\lt x + \delta_i$. Tomando $i$ suficientemente grande como para que $\delta_i\le c-x$ esto da $b_{i+1}\lt c$, contradiciendo la propiedad de que la $b_i$ disminuye a $c$.
QED
Para rematar el post:
La prueba del Lema 1:
Por la definición de la derivada en $b$ existe $\delta\gt0$ tal que $\lvert(f(b)-f(x))/(b-x)-f^\prime(b)\rvert\lt\epsilon/2$ siempre $x\gt b-\delta$. La elección de $y\in[a,b)$$y\gt b-\delta$, aplicando el valor medio teorema da $x\in(y,b)$ tal que $f^\prime(x)=(f(b)-f(y))/(b-y)$. A continuación,
$$
\begin{align}
\left\lvert\frac{f(b)-f(x)}{b-x}-f^\prime(x)\right\rvert
&=
\left\lvert\frac{f(b)-f(x)}{b-x}-\frac{f(b)-f(y)}{b-y}\right\rvert\cr
&\le
\left\lvert\frac{f(b)-f(x)}{b-x}-f^\prime(b)\right\rvert
+
\left\lvert\frac{f(b)-f(y)}{b-y}-f^\prime(b)\right\rvert\cr
&\lt\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon.
\end{align}
$$
QED
Así, de Peano teorema es verdadero. Sin embargo, he hecho uso de la media del teorema del valor en la prueba del Lema 1, por lo que este no da un método para probar el valor de la media de la desigualdad. Que sería circular. El problema real es la de demostrar el teorema de Peano sin hacer uso de algo tan fuerte como el valor de la media de la desigualdad. Sin embargo, en mi opinión, el teorema de Peano es más difícil de probar que el MVT (o una forma aproximada, por lo que no da un paso útil para demostrar el valor de la media de la desigualdad.
