Es la matriz identidad la única matriz que es su propia inversa?

Question

Me acaba de dar una prueba para esta pregunta. Aquí está mi pregunta de seguimiento: Vamos a $A \in \ \mathbb{M}_n(\mathbb{F})$ donde F es un campo y no existe $n\in N$ donde $A^n$= I. En el caso donde n=1,2, $A^1$=I $A^2$=I.

Aquí está mi pregunta: En general, si a es su propio inverso, entonces no se sigue necesariamente a=I? En otras palabras, es que la única matriz que es su propia inversa? Mi reacción instintiva es decir que no, pero probablemente sería bastante tedioso para la construcción de una multiplicación de la matriz de la fórmula que produce el subconjunto $S\subset \mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ donde S = {a | AA =I }. Existe un subconjunto en general? Sabemos que el conjunto es no vacío desde $I\in S$. ¿Hay otros?

Answer 1

$$\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta &-\cos\theta\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta &-\cos\theta\end{pmatrix}$$ para cualquier $\theta\in\mathbb{R}$.

Answer 2

Estás buscando involutory matrices. Para responder a la pregunta: no, hay otras matrices que son sus propias matrices inversas.

Answer 3

Si $A^2=I$,$(A-I)(A+I)=0$. Supongamos que $J$ es la Forma Canónica de Jordan de a $A$, entonces a partir de la $A=SJS^{-1}$, tenemos $$ \begin{align} 0 &=S^{-1}(A^2-I)S\\ &=S^{-1}AAS-S^{-1}IS\\ &=S^{-1}ASS^{-1}AS-I\\ &=J^2-I \end{align} $$ Por lo tanto, $J$ debe ser una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son $+1$$-1$.

Por lo tanto, $A^2=I$ si y sólo si $A$ es diagonalizable y tiene autovalores $+1$ $-1$.

Fácil ejemplos son diagonales de las matrices cuyos elementos de la diagonal son $+1$$-1$, pero cualquier parecido matrices , también trabajo.

Answer 4

Bueno, en realidad se puede crear ejemplos de tales matrices muy fácilmente. Todo lo que necesita es una transformación lineal que es su propia inversa. Sólo tiene que elegir un base y de intercambiar algunos extries (asegúrese de hacer discontinuo swaps), por ejemplo, decir $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, de tal manera que $T(e_1) = e_2, T(e_2) = e_1$, la correspondiente matriz será un $2 \times 2$ matriz con $1$s en la parte inferior izquierda y superior derecha de las entradas y ceros en otros lugares.

Una difícil pregunta sería ¿existe una base con respecto a que esta transformación lineal es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son $+1$$−1$. La respuesta es sí, desde luego, un involutory matriz de autovalores $+1$$-1$.