Encontrar todos los enteros positivos $n$ tal que $n$ es divisible por todos los números enteros positivos menores o iguales a $\sqrt{n}$

Question

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tal que $n$ es divisible por todos los los enteros positivos menores o iguales a $\sqrt{n}$

Mi pensamiento: Si n es un entero positivo, deje que d(n) denota el número de positivos divisores de n y voy a encontrar n tal que $d(n) \ge 2\sqrt{n} - 1$

Answer 1

En el manual de pruebas de, $n=1$, $n=2$, $n=4$, $n=6$, $n=8$ tiene la propiedad deseada y son los únicos números $<9$ con ella.

Deje $n$ ser un número natural que es múltiplo de todos los números naturales $\le \sqrt n$. Así que si dejamos $a=\lfloor \sqrt n\rfloor$ $a$ $a-1$ (si $>0$) son los divisores de $n$. Si además asumimos $n\ge 9$$a\ge 3$. Desde $a$ $a-1$ son relativamente primos, $a^2-a=a(a-1)$ divide $n$. Por lo tanto $n=k(a^2-a)$ algunos $k$. Claramente $k>1$ porque $n\ge a^2$. Por lo tanto $(a+1)^2>n\ge 2a^2-2a$, es decir, $0\ge a^2-4a=(a-4)a$. Esto implica $a\le 4$. Si $a=3$ nos encontramos con $9\le n<16$ $n$ debe ser un múltiplo de $2$$3$. Sólo tenemos que comprobar $n=12$, lo que da una solución. Por otro lado, si $a=4$, $16\le n<25$ $n$ es un múltiplo de a$3$$4$. Sólo tenemos que comprobar $n=24$, lo que da una solución.

Por lo tanto los enteros positivos con la propiedad son, precisamente, $$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.$$

Answer 2

A104588 Producto de números primos menores o iguales a sqrt(n).

1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210, 210

http://oeis.org/A104588

parece ser mayor que la de $n$$n > 48$, así que existe un número finito de casos de prueba.

Que no es una evidencia completa sino explicar una razón de que el resultado debe ser una lista corta de pequeño $n$.

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Otro martillo es http://oeis.org/A003418

A003418 a(n) = mínimo común múltiplo (mcm) de $\{1, 2, ..., n\}$

1, 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 12252240, 232792560, 232792560, 232792560, 232792560, 5354228880, 5354228880, 26771144400, 26771144400, 80313433200, 80313433200

que se convierte en mucho más grande de lo $n^2$, según el comentario

Una afirmación equivalente a la hipótesis de Riemann es: $| \log(a(n)) - n | < \sqrt{n} \log(n)^2$ ($n \geq 3$).