Lo de la regularidad de las condiciones en derivadas parciales son equivalentes a la diferenciabilidad?

Question

Esta pregunta es la intención de reavivar esta vieja pregunta, que al parecer fue muy duro no recibir una respuesta satisfactoria. Soy consciente de que la esperanza de una respuesta definitiva es bastante delgado, pero todavía estoy muy curiosa por saber:

Supongamos $f:U\to \Bbb R$ es una función, $U$ es un subconjunto abierto de $\Bbb R^n$, e $x_0\in U$, y las derivadas parciales $\partial_i|_{x_0}f,\,i=1,\cdots,n$ existen. Entonces, ¿qué regularidad condiciones en $\partial_i|_{x_0}f,\,i=1,\cdots,n$ son suficientes y condición necesaria para $f$ a ser diferenciable en a $x_0$?

La mera existencia de $\partial_i|_{x_0}f$ está lejos de ser suficiente. La continuidad de todos ellos es suficiente. El más débil condición suficiente AFAIK es este uno, es decir, la continuidad de todos, pero uno de ellos, que sin embargo es todavía suficiente.

Dado que se puede construir fácilmente una función diferenciable en a$x_0$, pero tiene todas sus derivadas parciales discontinua en $x_0$, como $$f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) & \text{ if $(x,y) \ne (0,0)$}\\0 & \text{ if $(x,y) = (0,0)$}.\end{cases}$$ este problema creo que es intrínsecamente difícil.

Se ha realizado alguna investigación que puede arrojar algo de luz sobre este complicado problema?

Answer 1

Esta no es una respuesta directa a su pregunta, pero he buscado de alta y baja en Dieudonné del Tratado en el Análisis, y él da el siguiente ejercicio (en el espacio de Banach de ajuste, pero no es diferente):

Supongamos $f\colon\Bbb R^2\to\Bbb R$ es continua. $f$ es diferenciable en a $(a,b)$ si y sólo si

1. Las derivadas parciales de $f$ existen en $(a,b)$.
2. Para cada $\epsilon>0$ hay$\delta>0$, de modo que $|s|,|t|<\delta$ implica $$|f(a+s,b+t)-f(a+s,b)-f(a,b+t)+f(a,b)|\le \epsilon(|s|+|t|).$$

(Observación de que esta última condición se cumple si, digamos, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ existe y hay un vecindario $V$$(a,b)$, de modo que $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ existe en $V$ y es continua.)

Answer 2

Yo también no soy consciente de que cualquier condición suficiente y necesaria en derivadas parciales que implican differentiabiliy y el teorema en el enlace es el mejor resultado que yo conozco. Una cosa que es importante observar es que la diferenciabilidad en $x_0$ implica que todas las derivadas direccionales $\frac{\partial f}{\partial v}(x_0)$ existen y que $$ \frac{\partial f}{\partial v}(x_0)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x_0)v_i $$ para cada $v\in\mathbb{R}$. Sin embargo, esta condición es sólo necesaria y no suficiente. Sin embargo, si $f$ es de Lipschitz continuo, se convierte también suficiente. Esto es todo lo que sé acerca de esto.