¿Es cierto? $\sum_{n=1}^\infty {n+m-1 \choose m}^{-1} = 1 + \frac {1}{m-1}$

Question

Demostrar (o refutar) que para todos los enteros positivos $m>1$ ,

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {n+m-1 \choose m}^{-1} = 1 + \frac {1}{m-1}$

Answer 1

El uso de la fórmula ${1/ {n\choose r}}=(n+1)\int_0^1 u^r(1-u)^{n-r}\,du,$ le da: $${1\over {n+m-1 \choose m}}=\int_0^1 (n+m)\,u^m\,(1-u)^{n-1}\,du.$$ Por lo tanto, la adición de más de $n$ da $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty {1\over {n+m-1 \choose m} } &=&\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty (n+m)\,u^m\,(1-u)^{n-1}\,du\\[8pt] &=&\int_0^1 (1+mu)\,u^{m-2} \,du\\[8pt] &=&{1\over m-1}+{m\over m}\\[8pt] &=&{1\over m-1}+1. \end{eqnarray*}$$