Prueba $e^{\binom{n}{2}}>n!$

Question

Demostrar que $$e^{\binom{n}{2}}>n!$$

$n \in \mathbb{Z_+}$

Lo siento, no pude intentarlo.

Answer 1

Sugerencia: Utilice $\binom{n}{2} = 0+1+2+\cdots+(n-1)$ .

Answer 2

Me gusta bastante el enfoque de Thomas Andrews. También se puede estimar $$\ln(n!)=\sum_{k=1}^n\ln k <\int_1^{n+1}\ln x\,dx.$$ Y el cálculo de esa integral te da una cota superior bastante buena para la h.r. Es cierto que esto necesita más maquinaria, pero también da una mejor aproximación a $n!$ .