La cardinalidad de $L_\alpha$ en $L$

Question

Es cierto (en $V$ ) que para cualquier ordinal infinito, $|L_\alpha|=|\alpha|$ .

Mi pregunta: ¿Es también cierto en $L$ ? es decir, ¿se $L$ satisface por sí mismo $|L_\alpha|=|\alpha|$ para cualquier ordinal infinito $\alpha$ ?

Answer 1

Sí, esto es cierto en $L$ . Esto se deduce de lo que has dicho, ya que podrías saltar dentro $L$ y luego aplicar su hecho general de que es cierto en $V$ Desde que el $V$ de $L$ es $L$ .

Como alternativa, se puede observar simplemente que la prueba de que $|L_\alpha|=|\alpha|$ en $V$ también muestra que $|L_\alpha|^L=|\alpha|^L$ al mismo tiempo. La razón es que como cada objeto en $L_{\alpha+1}$ es un subconjunto definible a partir de parámetros de $L_\alpha$ está determinada por una fórmula (un número natural) y un subconjunto finito de $L_\alpha$ (los parámetros). Así, en las etapas sucesivas, $|L_{\alpha+1}|=\omega\cdot|L_\alpha|$ que es igual a $|L_\alpha|$ y así en cada etapa la cardinalidad no aumenta. (Y $L$ puede observar que al igual que $V$ .) El hecho general se deduce ahora por recursión transfinita.