El conjunto de trazas de matrices ortogonales es compacto

Question

¿Es compacto el siguiente conjunto? $$M = \{ \operatorname{Tr}(A) : A \in M(n,\mathbb R) \text{ is orthogonal}\}$$ donde $\operatorname{Tr}(A)$ denota la traza de $A$ ?

Para ser compactos $M$ tiene que ser cerrado y acotado.

$\|A\|=\sqrt {\sum_{i,j} {a_{ij}}^2}=\sqrt n$ y, por tanto, acotada. Así que $\operatorname{Tr}(A)<\sqrt n$ . Por lo tanto $M$ está limitada.

Ahora tenemos que demostrar que $M$ está cerrado. Sea $\operatorname{Tr}(A_n)$ sea una secuencia de matrices convergentes a $\operatorname{Tr}(A)$ donde $A_n$ es una secuencia de matrices ortogonales. Lo único que queda por demostrar es que $A$ es ortogonal.

Answer 1

Además de utilizar la compacidad del conjunto de matrices ortogonales, se puede demostrar directamente que el conjunto de trazas posibles es $[-n,n]$ . Tenga en cuenta que $I$ y $-I$ son ortogonales con $\text{Tr}(I) = n$ y $\text{Tr}(-I) = -n$ . Por otra parte, cada elemento matricial de una matriz ortogonal tiene valor absoluto como máximo $1$ Así que $\text{Tr}(T) = \sum_{i=1}^n T_{ii}$ tiene valor absoluto como máximo $n$ .

Para obtener matrices ortogonales con cada valor de traza de $-n$ a $n$ consideremos los formados por bloques diagonales de la forma $$\pmatrix{\cos \theta & \sin \theta\cr -\sin \theta & \cos\theta}$$ con una entrada diagonal adicional de $+1$ o $-1$ por si acaso $n$ es impar.

Answer 2

Las matrices ortogonales son compactas, como muestro a continuación. La función traza es continua, por lo que la imagen de las ortogonales bajo esta función debe ser compacta también.

Para ver que los ortogonales son compactos, observe primero que la condición $A^TA = I$ es una condición cerrada. Es la preimagen de un punto único (cerrado) bajo un mapa continuo, siempre que definas el mapa continuo correctamente. Además, son acotadas, ya que sus columnas son todas de norma uno.

Answer 3

Pista: Para demostrar que $A$ es ortogonal, consideremos $\lim_{n \to \infty} \left\| A_n^TA_n - I \right\|$ observando que la función $$f(X) = \left\| X^TX - I \right\|$$ es continua.