Anillos con "dimensión" (en un sentido específico, relacionado con los generadores de ideales)

Question

Deje $R$ ser un noetherian anillo. Si $I \trianglelefteq R$ es un ideal de a $R$, definimos $\mu(I)$ a ser el mínimo de$^{(1)}$ número de generadores de $I$ (esto está bien definido desde $R$ es noetherian). A continuación, definimos la "dimensión" de la $R$ $$d(R) := \sup\limits_{I \trianglelefteq R} \;\mu(I).$$

Mi pregunta es:

Dado un entero positivo $n>0$, hay un anillo de $R$ tal que $d(R)=n$?

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Obviamente, $R$ es un PID iff $d(R)=1$. Los dominios de Dedekind satisfacer $d(R)≤2$. Por ejemplo, el no-UFD (por lo tanto no-PID) $\Bbb Z[i\sqrt 5] = \mathscr{O}_{\mathbb Q(i\sqrt 5)}\;$ "dimensión" $2$. Por otra parte, yo sé que $d(\Bbb Z[X]) = \infty$.

Pero no tengo un ejemplo de un anillo con "dimensión" $3$, por ejemplo. Posiblemente algo como $\Bbb Z[\sqrt 2, \sqrt 3]$ podría funcionar, pero tenemos que evitar que el anillo de enteros de los campos de número de...

Mi concepto de "dimensión" es tal vez relacionado con la noción de la dimensión de Krull, probablemente por tomar el supremum $\text{Spec}(R)$ en lugar de todos los ideales de a $I \trianglelefteq R$, es decir, $d_p(R) := \sup\limits_{P\in \text{Spec}(R)} \;\mu(P)\;$ (similar notaciones aquí; por otra parte nos ha $d_p(\Bbb Z[X]) =2$ cual es la dimensión de Krull). Yo no sé en realidad la noción de "altura" de un ideal, sin embargo, pero creo que la desigualdad de $\mu(I) \ge \text{ht}(I)$ mantiene.

De todos modos, cualquier sugerencia será muy apreciada!

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$^{(1)}$ mínima en el siguiente sentido: si $m<\mu(I)$$x_1,\dots,x_m \in I$, entonces el ideal generado por a $x_1,\dots,x_n$ es estrictamente contenida en $I$, es decir,$\langle x_1,\dots,x_m \rangle ≠ I$. Literalmente: $\mu(I) = \min\{\#E \mid \langle E \rangle = I\}$.

Answer 1

Cómo acerca de $R = k[x_1, \ldots, x_n]/\mathfrak m^2$ donde $\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_n)$? Este es un anillo local donde $\mathfrak m$ es mínimamente generado por $n$ elementos. Tomar una correcta ideal $I$. A continuación, $I$ $k$- subespacio de $\mathfrak m$ visto como un $k$-espacio vectorial, y un $k$-base de $I$ es también un generador de $I$. Por lo $I$ es generado por en la mayoría de las $\dim_k I \le \dim_k \mathfrak m = n$ elementos.

Answer 2

Un comentario. En esta respuesta supongo que $\langle x_1,\dots,x_m \rangle$ denota la sub-anillo generado por $x_1,\dots,x_m$, no el ideal generado por ellos. Como se ha señalado por @user26857 en los comentarios, Watson puede haber significado el último caso, pero decidí dejar mi respuesta aquí por su propio bien.

El ejemplo que aparece en algún lugar en la secuencia de $\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2^2, \mathbb{F}_2^3,\ldots$. De hecho, de todos los ideales de a $\mathbb{F}_2^m$ tiene la forma $\mathbb{F}_2^k$, y tenemos $$d(\mathbb{F}_2^{m})\leqslant d(\mathbb{F}_2^{m+1})\leqslant d(\mathbb{F}_2^{m})+1.$$ This condition guarantees that every value between $1$ and $d(\mathbb{F}_2^{m})$ appears as the dimension of some $\mathbb{F}_2^{k}$ with $k\leqslant m$. It remains to prove that $d(\mathbb{F}_2^{t})\to\infty$ as $t\to\infty$; to this end, note that $d(\mathbb{F}_2^{t})\geqslant \log_2t$ because every set of elements in $\mathbb{F}_2^{t}$ of cardinality less than $\log_2t$ tiene un par de coordenadas en el que todos los elementos coincidentes.