¿Por qué aceleración de la necesidad de ser constante si la integración?

Question

Mi maestro escribió lo siguiente:

La Aceleración Constante

Si la aceleración es constante, entonces:

$$\vec{v}(t) = \int_0^t \vec{a}(t')dt'\ + \vec{v_0}$$

y

$$\vec{x}(t) = \int_0^t \vec{v}(t')dt'\ + \vec{x_0}$$

¿Por qué aceleración de la necesidad de ser constante? Yo no puedo ver por qué la integración tendría una aceleración constante como tal.

Answer 1

La aceleración no es necesario ser constante. Por definición, $a=dv/dt$. Usted todavía puede resolver por $v(t)$ mediante la integración de $\int a(t) dt$.

Si la aceleración es constante, se llega a la situación común de $v(t)=v_0 +at$. Si la aceleración no es constante, va a haber algunos otros (más interesante) resultado por $v(t)$ ya que ahora se integran a través de una función que incluye $t$.

Por ejemplo, si $a(t)=\frac{a_0}{t^2}$,$v(t)=-\frac{a_0}{t}+v_0$.

Answer 2

¿Por qué aceleración de la necesidad de ser constante?

Las ecuaciones que dan no requieren de constante aceleración, que son verdaderas independientemente:

\begin{align} v(t) &= \int^t_0 a(t')dt' + v_0 \\ &= \int^t_0 \frac{dv(t')}{dt'}dt' + v_0 \\ &= \int^t_0 dv(t') + v_0 \\ &= v(t) - v(0) + v_0 \\ &= v(t) \end{align}

donde he utilizado la definición de aceleración, $a(t) = \frac{dv(t)}{dt}$, en la línea 2. Y de manera similar para posición

$$ x(t) = \int^t_0 v(t')dt' + x_0 = \int^t_0 \frac{dx(t')}{dt}dt + x_0 = \int^t_0 dx(t') + x_0 = x(t) - x(0) + x_0 = x(t) $$

utilizando la definición de velocidad, $v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$, en el $2^{nd}$ paso. Fundamentalmente, la aceleración constante no fue asumido: $a(t)$ podría ser cualquier cosa diferencial.

Yo no puedo ver por qué la integración tendría una aceleración constante como tal.

En general no, pero si lo hace suponer entonces que las ecuaciones se simplifican enormemente :)

Si la aceleración es constante, entonces $a(t) \rightarrow a$ ya que no depende del tiempo. Esto permite que usted tire de ella fuera de la integral, lo que hace que la integral solucionable. A partir de la definición de aceleración en forma integral

\begin{align} v(t) &= \int a(t)dt \\ &\rightarrow a\int dt \quad\text{ (!!)} \\ &= at+c \end{align}

donde $c$ es una constante y $(!!)$ significa que he utilizado el hecho de que la aceleración es constante. Si usted considera que $t=0$: $v(t=0) = c$ a continuación, se hace evidente que $c$ es la velocidad inicial, $v(t=0)$, mientras que la voy a cambiar el nombre como $v_0$.

\begin{equation} v(t) = at+v_0 \tag{1} \end{equation}

Usted puede, a continuación, repita este proceso con la posición, $x$, dada la definición de la velocidad

\begin{align} x(t) &= \int v(t)dt \\ &= \int (at+v_0)dt \quad\text{ (!!)} \\\\ &= \int at dt + \int v_0 dt \\ &\rightarrow a\int t dt + v_0\int dt \quad\text{ (!!)} \\\\ &= \frac{1}{2}at^2 + v_0t + c \end{align}

Considerando $t=0$ nuevo: $x(t=0) = c$, por lo que tenemos

\begin{equation} x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0 \tag{2} \end{equation}

Las ecuaciones 1 y 2 se utilizan ampliamente a lo largo de la Física clásica, ya que a menudo consideramos los casos más sencillos, con fuerzas constantes (por ejemplo, la gravedad y la electrostática), que producen constantes aceleraciones. También hay algunos más ecuaciones para aceleración constante, más sobre ellos aquí.

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Si la aceleración no es constante, entonces usted tiene alguna función de $t$. Por ejemplo, \begin{align} a(t) &= xt^2 + yt + z \\ v(t) &= \int a(t) dt \\ &= \int (xt^2 + yt + z) dt \\ &= \int xt^2 dt + \int yt dt + \int z dt \\ &= x\int t^2 dt + y\int t dt + z\int dt \\ &= \frac{1}{3}xt^3 + \frac{1}{2}yt^2 + zt + c \end{align}