Calcular el $x$ si $y = a \cdot \sin{[b(x-c)]}+d$

Question

Yo no soy un experto cuando se trata de funciones trigonométricas.

Necesito calcular el valor de $x$ para un programa.

Si $y = a \cdot \sin{[b(x-c)]}+d$, ¿cuál será la fórmula para calcular el $x$?

Por favor ayuda..

Answer 1

Por lo que esta ecuación $y = a\cdot \sin[b(x-c)]+d$ puede ser reorganizado como

$$\frac{y-d}{a}= \sin[b(x-c)]$$

El uso de la $\arcsin$ esto puede escribirse como

$$\arcsin\left(\frac{y-d}{a}\right) + k\cdot 2\pi= b(x-c)$$

con $k$ un entero. Esto es así porque el $\sin$ función es periódica con período de $2\pi$, mientras que el $\arcsin$ es en realidad la inversa de una truncada $\sin$.

Reorganización de más:

$$c+\frac{1}{b}\arcsin\left(\frac{y-d}{a}\right) + \frac{2k\cdot \pi}{b}= x$$

Ahora, hay otro conjunto de soluciones que se deduce del hecho de que $\sin(a) = \sin(\pi - a)$. Así que también tenemos

$$\arcsin\left(\frac{y-d}{a}\right) + k\cdot 2\pi= \pi-b(x-c)$$

o después de la reformulación de

$$c-\frac{1}{b}\arcsin\left(\frac{y-d}{a}\right) - \frac{(2k-1)\cdot \pi}{b}= x$$

De nuevo, para $k$ ser un número entero.

Ahora, usted puede restringir su solución para ángulos entre $[0,2\pi]$, en cuyo caso no necesita la totalidad de los conjuntos de soluciones, pero sólo dos de ellos. Si usted tiene más restricciones, no puede haber una solución única.

Aquí está una parcela de lo que las soluciones parecen gráficamente:

Los puntos rojos corresponden a mi primera fórmula

$$x_k = c+\frac{1}{b}\arcsin\left(\frac{y-d}{a}\right) + \frac{2k\cdot \pi}{b} \; ,$$

los puntos verdes corresponden a mi segundo

$$x'_k=c-\frac{1}{b}\arcsin\left(\frac{y-d}{a}\right) - \frac{(2k-1)\cdot \pi}{b} \; .$$

Answer 2

Todo se reduce a lo siguiente:

Si dos cantidades $t$ $s$ están relacionados por la ecuación $$(*) \qquad s=\sin t$$ then for arbitrary $t\in{\mathbb R}$ the corresponding $s$ is uniquely determined and can, e.g., be evaluated by means of the $\pecado$-series. The $s$-values appearing in this way turn out to be restricted to the interval $[-1,1]$.

La otra manera alrededor de la situación es más complicada. Para un determinado $s\in\ [-1,1]$ hay un único, $T\in [-{\pi\over2},{\pi\over2}]$ que satisface la ecuación de $(*)$, y este en particular $T$ se llama $\ \arcsin s$. Todos los otros $t$ que satisfacer $(*)$ pueden ser obtenidos a partir de este T, y observando la gráfica de la $\sin$-función se obtiene el siguiente de la lista de valores:

Si $s=-1$$T=-{\pi/2}$, y si $s=1$$T={\pi/2}$. En ambos casos, el conjunto completo de $t$ satisfacción $(*)$ está dado por $\{T+2k\pi\ |\ k\in{\mathbb Z}\}$. Si $s$ se encuentra estrictamente entre el$-1$$1$, a continuación, cada una de las $t$-intervalo de longitud de $2\pi$ contiene ${\it two}$ puntos que satisfacen $(*)$, y el conjunto completo de dichas $t$ está dado por $\{T+2k\pi\ |\ k\in{\mathbb Z}\}\ \cup\ \{(2k+1)\pi-T\ |\ k\in{\mathbb Z}\}$.

Answer 3

Bueno, como $\sin \circ \arcsin = id$ (es de la otra manera que es difícil), debería ser bastante simple para que usted probar que:

x = (sin (y - d)) / b + c

Answer 4

Lo que algunos han insinuado, pero en realidad no hace hincapié en que es imposible derivar x a partir de y (t) en la ecuación); porque, a pesar de su ecuación es un legítimo no-lineal de la ecuación, su inversa no es. En otras palabras: cada valor de x le da un único valor de y; pero si reorganizar la ecuación a resolver para x, cada valor de y puede dar un número infinito de valores de x.

Así que, para hacer este look como una función (y obtener su respuesta, sin todos los " k " valores) debe restringir el argumento de arcsen(z) tal que -Pi/2 radianes < z < +P1/2 radianes. En su caso, z = (y-d)/a.

Answer 5

$\arcsin[b(x-c)] = y - d \implies$

$b(x-c) = \sin(y-d) \implies$

$x=\sin(y-d)/b + c$