La propiedad tiene nombre se llama "convergencia en medida":
Decimos que ${f_n}$ converge a ${f}$ en medir si, para cada ${\epsilon > 0}$, las medidas de $\mu( \{ x \in X: |f_n(x) - f(x)| \geq \epsilon \} )$ converge a cero como $n \rightarrow \infty$. (fuente)
En particular, suponiendo que te refieres a $A_n = \{x \in X \; : \; |f_n(x)| > \epsilon\}$, su conjetura puede ser reformulado como
Si $f_n : X \to \mathbb{R}$ son funciones tales que $f_n \to 0$ en medir, debe ser cierto que la $f_n \to 0$ $\mu$-en casi todas partes?
(Tenga en cuenta que el uso de $\limsup$ y la definición de la convergencia en la medida que utiliza $\lim$, pero las dos son equivalentes, ya que la medida es no negativa.)
En general, tu conjetura es falsa. Sin embargo, una débil declaración es verdadera: debe existir una larga de $f_n$ que converge a $0$ $\mu$-en casi todas partes.
Contraejemplo a tu conjetura como se indica
La idea es hacer $f_n$ igual a $1$ más pequeño y más pequeño, de manera que $\mu(A_n) \to 0$, pero para hacer que los más pequeños conjuntos de saltar lo suficiente para que la $f_n(x)$ $1$ infinitamente a menudo para cualquier $x$.
Considere la posibilidad de $X = \mathbb{R}$ con medida de Lebesgue, y definir la siguiente secuencia de funciones:
$$
\chi_{[0,1]},
\chi_{[0,1/2]}, \chi_{[1/2,1]},
\chi_{[0,1/3]}, \chi_{[1/3,2/3]}, \chi_{[2/3,1]},
\chi_{[0,1/4]}, \ldots
$$
A continuación, para cualquier $\epsilon > 0$, $\mu(A_n) \to 0$ porque es la secuencia de $1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, 1/3, \ldots$. Por lo $f_n \to 0$ en la medida. Sin embargo, $f_n$ no $0$ cualquier $x \in [0,1]$, lo $f_n$ no converge a la función cero en casi todas partes.
La prueba de que algunos subsequence de $\boldsymbol{f}_\boldsymbol{n}$ converge en casi todas partes a $\boldsymbol{0}$
Prueba.
Deje $f_n \to f$ en medir; queremos mostrar un subsequence de $f_n$ converge a $f$ pointwise en casi todas partes.
Para cualquier $k$, vamos a $E_{n,k}$ ser el conjunto de puntos donde $\left|f_n - f\right| > \frac{1}{k}$.
Para una fija $k$, la convergencia en la medida implica la $\mu(E_{n,k}) \to 0$.
Para cada una de las $i$, elegir un número entero $n_i$, de modo que $n_i$ es un aumento de la secuencia de números enteros, y $\mu(E_{n_i, i}) < \frac{1}{2^i}$.
Aviso que esto significa $\mu(E_{n_i, k}) < \frac{1}{2^i}$ $k \le i$ desde $E_{n_i, k} \subset E_{n_i, i}$ al $k \le i$.
Ahora consideremos el conjunto $E$ de los puntos de $x$ donde $f_{n_i}(x) \not \to f(x)$.
Tenemos
$f_{n_i}(x) \not \to f(x)$ si y sólo si hay algún $k$ tal que $\left|f_{n_i}(x) - f(x) \right| > \frac1k$ infinitamente a menudo.
Por lo tanto,
$$
E = \bigcup_{k=1}^\infty \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{i=N}^\infty E_{n_i,k}
$$
Así
\begin{align*}
\mu(E)
&\le \sum_{k =1}^\infty \mu \left( \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{i=N}^\infty E_{n_i,k} \right) \\
&\le \sum_{k =1}^\infty \lim_{N \to \infty} \mu \left( \bigcup_{i=N}^\infty E_{n_i,k} \right) \\
&\le \sum_{k=1}^\infty \lim_{N \to \infty} \sum_{i=N}^\infty \mu(E_{n_i,k}) \\
&= \sum_{k=1}^\infty {\lim_{N \to \infty \atop N \ge k}} \sum_{i=N}^\infty \mu(E_{n_i,k}) \\
&\le \sum_{k=1}^\infty {\lim_{N \to \infty \atop N \ge k}} \sum_{i=N}^\infty \mu(E_{n_i,i}) \quad \quad \text{(since } k \le i \text{)} \\
&\le \sum_{k=1}^\infty {\lim_{N \to \infty \atop N \ge k}} \sum_{i=N}^\infty \frac{1}{2^{i}} \\
&= \sum_{k=1}^\infty (0) = 0\\
\end{align*}
Por lo tanto, $f_{n_i} \to f$ pointwise fuera del conjunto de $E$ de medida $0$.
$\square$
