el espectro de la "operador Laplaciano discreto"

Question

En análisis numérico, el operador Laplaciano discreto $\triangle$ $\ell^2({\bf Z})$ puede ser escrito en términos del operador de desplazamiento a la

$\triangle=S+S^*-2I$

donde $S$ es el operador de desplazamiento a la derecha. Ya que es auto-adjunto, el espectro debe estar en la recta real. Por otro lado, el simple cálculo demuestra que uno puede escribir el operador $\triangle-\lambda$ como los siguientes

$\triangle-\lambda=-\frac{1}{\mu}(S-\mu)(S^*-\mu)$ (*)

donde $\mu$ es tal que $\mu+\frac{1}{\mu}=2+\lambda$.

(*) puede dar la intuición de que el espectro

$\sigma(\triangle)=\{\mu+\frac{1}{\mu}:|\mu|=1\}-2$

Sin embargo, para probar , (*) parece no funcionar.

Aquí están mis preguntas:

1. Es $\sigma(\triangle)=\{\mu+\frac{1}{\mu}:|\mu|=1\}-2$ verdad?

2. ¿El hecho de que $\sigma(S)$ es puramente continua implica que $\sigma(\triangle)$ también es continua?

Answer 1

Sí. Deje $f(z) = z + z^{-1} - 2$. Desde $\Delta = f(S)$, $\sigma(\Delta) = f(\sigma(S))$. Y sí, $\sigma(S) = \{z: |z| = 1\}$. Ahora tenga en cuenta que si $z = e^{i\theta}$, $f(z) = 2 \cos(\theta) - 2$, por lo $\sigma(\Delta) = [-4, 0]$.

El espectro de $\Delta$ es todo continuo: es fácil ver que $\Delta$ no tiene autovalores de a $\ell^2({\mathbb Z})$. De hecho, es absolutamente continua, y esto se deduce del hecho de que la imagen inversa bajo $f$ de cualquier conjunto de medida de 0 en $\mathbb R$ tiene medida 0 en el círculo unidad.