Una forma cerrada de la serie $ \sum_{n=1}^{\infty} q^n \sin(n\alpha) $

Question

Estoy teniendo problemas con la siguiente serie:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} p^n \sin(n\alpha), \quad|q| < 1. $$

No hay restricciones en la $\alpha$. Necesito saber si converge y si sí, evaluar su suma.

Puedo ver que es convergente mediante la prueba de comparación. Pero no he podido encontrar la suma de sus partes. Hasta ahora he intentado agrupar posterior de los términos y el uso de fórmulas trigonométricas, pero no me ayudan mucho.

¿Por dónde debo empezar cuando veo que las funciones trigonométricas en una serie? En general, no tengo idea de donde en tales situaciones.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia. Asumimos $\alpha\in \mathbb{R}$$-1<q<1$. A continuación, se puede escribir $$ \sum_{n=1}^{\infty} p^n \sin(n\alpha)=\Im \sum_{n=1}^{\infty} (qe^{i\alpha})^n =\Im\: \frac{qe^{i\alpha}}{1-qe^{i\alpha}} $$ donde hemos utilizado el estándar de la evaluación de una serie geométrica.

Answer 2

Me gustaría ampliar Olivier Oloa de la sugerencia:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty } q^{ n }\sin (n\alpha )=q\sin { \alpha +{ q }^{ 2 }\sin { 2\alpha +...+{ q }^{ n }\sin { n\alpha +...\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left( 1 \right) } } } \quad \\ \sum _{ n=1 }^{ \infty } q^{ n }\cos { \left( n\alpha \right) } =q\cos { \alpha +{ q }^{ 2 }\cos { 2\alpha } +...+{ q }^{ n }\cos { n\alpha +... } } ,\left| q \right| <1\quad \quad \left( 2 \right) $$

vamos a denotar las sumas parciales de $(1)$ $(2)$como sigue:

$${ u }_{ n }=\sum _{ n=1 }^{ \infty } p^{ n }\sin (n\alpha )=q\sin { \alpha +{ q }^{ 2 }\sin { 2\alpha +...+{ q }^{ n }\sin { n\alpha } } } \quad \quad \\ { v }_{ n }=\sum _{ n=1 }^{ \infty } p^{ n }\cos { \left( n\alpha \right) } =q\cos { \alpha +{ q }^{ 2 }\cos { 2\alpha } +...+{ q }^{ n }\cos { n\alpha } } $$

utilizando la fórmula de Euler ${ e }^{ i\varphi }=\cos { \varphi +i\sin { \varphi } } $ tenemos

$${ u }_{ n }+i{ v }_{ n }=q\left( \sin { \alpha } +i\cos { \alpha } \right) +{ q }^{ 2 }\left( \sin { 2\alpha } +\cos { 2\alpha } \right) +...+{ q }^{ n }\left( \sin { n\alpha +i\cos { n\alpha } } \right) =\\ =\frac { q{ e }^{ i\alpha }-{ q }^{ n+1 }{ e }^{ i\left( n+1 \right) \alpha } }{ 1-q{ e }^{ i\alpha } } $$

desde $\left| q \right| <1\Rightarrow \left| q{ e }^{ i\alpha } \right| <1$ tenemos

$$\\ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left( { q }^{ n+1 }{ e }^{ i\left( n+1 \right) \alpha } \right) =0 } $$

finalmente llegamos

$$u+iv=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left( { u }_{ n }+i{ v }_{ n } \right) =\frac { q{ e }^{ i\alpha } }{ 1-q{ e }^{ i\alpha } } =q\left( \frac { \cos { \alpha -q } }{ 1-2q\cos { \alpha +{ q }^{ 2 } } } +i\frac { \sin { \alpha } }{ 1-2q\cos { \alpha +{ q }^{ 2 } } } \right) } $$ donde $$u=q\frac { \cos { \alpha -q } }{ 1-2q\cos { \alpha +{ q }^{ 2 } } } ,v=\frac { q\sin { \alpha } }{ 1-2q\cos { \alpha +{ q }^{ 2 } } } $$