Un no-abelian semigroup sin identidad existen?

Question

Me presentaron a semigroups hoy y tenía una pregunta. Así que todos los ejemplos de semigroups me dieron fueron monoids o grupos. Así que tenía curiosidad, ¿existe un semi-grupo que no es abelian y no contiene identidad?

Traté de construir un ejemplo, pero cada ejemplo, he intentado construir había un elemento de identidad.

Gracias!

Answer 1

Deje $A^{\ast}$ ser el libre monoid en un conjunto no vacío $A$; esto es sólo el conjunto de todas las palabras que usa $A$ como un alfabeto. Deje $e$ ser la identidad. Ya que ningún elemento de $A^{\ast}$ tiene una inversa de otros $e$, $A^{\ast}-\{e\}$ es un semigroup sin identidad, y es nonabelian proporcionado $A$ tiene más de un elemento.

Answer 2

Si $S$ es un conjunto con al menos dos elementos, y la multiplicación se define por $x\cdot y=y$, $(S,\cdot)$ es no conmutativa semigroup sin derecho a la identidad. (Por supuesto, cada elemento es a la izquierda de la identidad.)

Answer 3

Tome el conjunto de todos finito, no-vacío secuencias de elementos en algunas conjunto no vacío $S$ con la operación dada por la concatenación (comúnmente llamado el libre semigroup en $S$). Es decir, tomar $S^+=\bigcup_{n\geq 1}{S^n}$ donde $(s_1,\ldots, s_n),(t_1,\ldots, t_m)\in S^+$ tenemos su concatenación dada por $$(s_1,\ldots, s_n)(t_1,\ldots, t_m)=(s_1,\ldots, s_n,t_1,\ldots, t_m).$$ Esto no es conmutativa tan largo como $S$ contiene al menos dos elementos; si $x,y$ son tan distintos elementos, a continuación,$(x)(y)=(x,y)\neq (y,x)=(y)(x)$.

Answer 4

Un ejemplo sencillo podría ser el conjunto de todos los no-vacío cadenas (más algunos alfabeto) con el operador de concatenación. La cadena vacía iba a ser la identidad, pero se excluyeron del dominio, por lo que no hay identidad.

Podría ser un poco insatisfactorio para crear un semigroup sin identidad simplemente mediante la eliminación de la identidad, pero si tomamos cualquier semigroup sin una identidad y definir un nuevo elemento de identidad $e$ tal que $e\cdot x = x\cdot e = x$ todos los $x$ en el semigroup, entonces siempre vamos a crear un semigroup con una identidad, por lo que cualquier ejemplo que podemos dar es sólo un semigroup con su identidad eliminado (y que permanece cerrado bajo su operación cuando nos quitan la identidad).

Answer 5

Depende de exactamente lo que quieres decir con "no contiene identidad". ¿Qué acerca de uno de los lados de las identidades? ¿Qué pasa si hay más de una identidad distinta? La existencia de un único elemento de identidad es una propiedad de los grupos. Cuando usted no está hablando acerca de los grupos, tienes que ser más específico acerca de lo que son excluyentes. En este ejemplo, cada elemento es a la izquierda de la identidad, pero no hay derecho a la identidad o a dos caras de la identidad. He copiado este ejemplo directamente de la Wikipedia (ver el último ejemplo en la lista), pero en mi defensa he construido una idéntica ejemplo yo antes de que me encontré a través de ella.

sólo dos elementos {e, f}
∗ definido por
e ∗ e = f ∗ e = e y
f ∗ f = e ∗ f = f

ambos e y f son de la izquierda identidades,
pero no hay derecho a la identidad
y no hay dos caras de la identidad

La operación es asociativa, que se puede ver si la lista de todas las combinaciones de dos operaciones en tres elementos, por ejemplo,

(e * f) * e = f * e = e
e * f * e) = e * e = e

(e * f) * f = f * f = f
e * f * f) = e * f = f

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