ningún

Question

En toda la red, se afirma que la parametrización de lemniscate con ecuación cartesiana $(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)$ es: $$\varphi: t \mapsto \left(\frac{a\sqrt{2}\cos(t)}{1+\sin^2(t)}, \frac{a\sqrt{2}\cos(t)\sin(t)}{1+\sin^2(t)}\right)

No entiendo cómo llegar...

Mi método es el siguiente:

Transformar la ecuación cartesiana a polar coördinates y encuentro: $$r=a\sqrt{2\cos(2\vartheta)}

Entonces reemplazando $r$ $(r\cos(\vartheta), r\sin(\vartheta))$ da: $$\psi: t \mapsto \left(a\sqrt{2\cos(2t)}\cos(t),a\sqrt{2\cos(2t)}\sin(t) \right)

¿Son equivalentes? (Supongo que la teoría dice que debe haber una cierta función que asigna $\psi$ $\varphi$; Parece que no puedo encontrar que la función...)

Answer 1

El "estándar" de la parametrización (el que te vas a encontrar cuando se mira que) parece ser la intención de proporcionar un continuo parametrización alrededor de la curva. (Esto puede estar relacionado con la lemniscate ser un caso especial de la clase de curvas conocidas como "Cassinian óvalos" -, pero no he visto mucho en eso todavía.) Utilizando el formulario para $\ x(t) \ $$\ y(t) \ $ , obtenemos (por $\ a = 1 \ $)

$$x^2(t) \ + \ y^2(t) \ = \ 2 \ \frac{\cos^2 t \ (1 + \sin^2 t)}{(1 + \sin^2 t)^2} \ = \ 2 \ \frac{\cos^2 t }{1 + \sin^2 t} \ .$$

EDITAR -- por cierto, esto es no un arclength parametrización (que fue mi primer pensamiento). Mientras que el integrando no tiene tan mal aspecto [ $\ a \ \sqrt{2} \ \int \frac{d\theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}} \ ]$ , la integral de la función es no-primaria...

Los gráficos de $\ x(t) \ , \ y(t) \ , \ $ $\ \sqrt{x^2 + y^2} \ $ se muestra a continuación.

Esto cubre la curva en el intervalo de $\ 0 \ \le \ t \ \le \ 2 \pi \ $ como se ve aquí.

La parametrización se encuentra mediante el uso de coordenadas polares es una alternativa válida, pero debido a que la ecuación es $\ r^2 \ = \ 2a^2 \ \cos 2t \ ,$ no puede producir admisible el radio de la curva polar en los intervalos (en el principal círculo) $\ \frac{\pi}{4} \ < \ t \ < \ \frac{3 \pi}{4} \ $ o $\ \frac{5\pi}{4} \ < \ t \ < \ \frac{7 \pi}{4} \ .$ yendo un poco de "fuera" del director de círculo, los dos lóbulos de la lemniscate puede ser de forma individual cubierta como se muestra aquí (de nuevo por $\ a = 1 \ $ ).

Para la parametrización se encuentra no está definida para el periódico los intervalos en los números reales.

Answer 2

Hasta un factor de escala, el resultado final se ve idéntica y he retomado las curvas de lado a lado en lugar de en la parte superior de uno al otro. El camino por el cual la curva se recorre la lemniscate varía. Su parametrización es la curva azul, mientras que el rojo es la parametrización de encontrar en Mathworld, Wikipedia, y así sucesivamente.

A partir de aquí las dos curvas de cumplir con el origen y, a continuación, recorrer la última hoja de la lemniscate. Muy interesante!

Answer 3

Algo tortuosa (a mí, al menos) de la ruta para la generación de las ecuaciones paramétricas para la lemniscate de Bernoulli se basa en el conocimiento de que la lemniscate es la inversa de la curva de la hipérbola equilátera con respecto a su centro. Si partimos de la fórmula para la inversa de la curva de $\begin{pmatrix}f(t)&g(t)\end{pmatrix}^\top$ con respecto a un círculo centrado en el origen con radio de $a$:

$$\begin{align} x&=\frac{a^2 f(t)}{f(t)^2+g(t)^2}\\ y&=\frac{a^2 g(t)}{f(t)^2+g(t)^2} \end{align}$$

y sustituir en las ecuaciones paramétricas para la hipérbola equilátera $\begin{pmatrix}\sec(t)&\tan(t)\end{pmatrix}^\top$, obtenemos

$$\begin{align} x&=\frac{a^2\sec(t)}{\sec^2(t)+\tan^2(t)}\\ y&=\frac{a^2\tan(t)}{\sec^2(t)+\tan^2(t)} \end{align}$$

que se transforma fácilmente (con la habitual identidades) en

$$\begin{align} x&=\frac{a^2\cos(t)}{1+\sin^2(t)}\\ y&=\frac{a^2\sin(t)\cos(t)}{1+\sin^2(t)} \end{align}$$

que es el mismo que las ecuaciones paramétricas de la OP, hasta un factor de escala.