¿curvas algebraicas con género (aritmético) negativo?

Question

Por una curva algebraica significo un esquema conectado reducido proyectivo de dimensión pura 1 sobre un campo.

Mi pregunta es: ¿existe un límite inferior para el género aritmético de estas curvas? Si la respuesta es no, ¿hay un método general para construir estas curvas con género negativa arbitraria? ¡Cualquier referencia es bienvenida, gracias!

Tenga en cuenta que, como señaló Andrea en el comentario, cuando la curva geométricamente está conectada, el género aritmético es siempre no negativo.

Answer 1

Deje $K / k$ ser finito, la extensión de los campos de grado $d$. Deje $X$ ser suave geométricamente conectado curva proyectiva sobre $K$ de género $g$. Los morfismos $\mathrm{Spec} K \to \mathrm{Spec} k$ es proyectiva (Ejercicio 3.3.22 de Liu geometría Algebraica y aritmética de curvas), por lo tanto, $X$ es proyectiva sobre $k$. Entonces $$ p_{a,k}(X) = 1- \chi_k(X) = 1 - d \cdot \chi_K(X) = 1 - d (1-g). $$ Usted puede tomar $g = 0$.

EDIT. Más concretamente, vamos a $k$ ser un campo, vamos a $f \in k[t]$ ser un monic polinomio irreducible de grado $d$, vamos a $\alpha \in \bar{k}$ ser una raíz de $f$ y deje $K = k(\alpha)$. Si $f(t) = \sum_{i=0}^d a_i t^i$, $\mathrm{Spec} K$ es isomorfo a $$ \mathrm{Value} k[x_0,x_1] / (\sum_{i=0}^d a_i x_0^i x_1^{d-i} ). $$ Entonces $$ X = \mathbb{P}^1_K = \mathbb{P}^1_k \times_k \mathrm{Spec} K = \mathbb{P}^1_k \times_k \mathrm{Value} k[x_0,x_1] / (\sum_{i=0}^d a_i x_0^i x_1^{d-i} ) $$ es un cerrado subscheme de $\mathbb{P}^1_k \times_k \mathbb{P}^1_k$, por lo que es un cerrado subscheme de $\mathbb{P}^3_k$ por Segre incrustación de objetos, es decir, $$ X = \mathrm{Value} k[z_0, z_1, z_2, z_3] / (z_0 z_3 - z_1 z_2, \sum_{i=0}^d a_i z_0^i z_1^{d-i}, \sum_{i=0}^d a_i z_2^i z_3^{d-i}).$$