Todos serán del mismo sexo.

Question

Me preguntaba, si hay 10 niñas y 10 niños en un aula, y fueron asignados al azar en grupos de cuatro, ¿cuáles son las posibilidades de que exista un grupo con todas las personas en su interior el mismo sexo (todos los muchachos, por ejemplo?)

Si es posible, dar la explicación y el resultado claramente visible una parte del resto, en por ciento. Ejemplo, 'hay una posibilidad de 20% para el 1 grupo, 5% para dos', etcetera.

Answer 1

Sugerencia (respuesta completa más tarde, como de costumbre):

Tienes un grupo de 20 personas, y que usted necesita para encontrar las probabilidades de elección de un grupo de 4, en el que todos son varones.

La belleza de este tipo de problema es el que se presta a la visualización en el papel. Formar un grupo de una persona a la vez, repitiendo la pregunta "¿cuáles son las probabilidades de elección de un muchacho de el resto de la gente?" hasta que el grupo de todos los niños.

Primero gratis: usted tiene un $\frac {10} {20}$ de probabilidad de elegir a un niño, antes de que usted ha elegido nadie. Ahora tiene un grupo de 19 sin asignar la gente. ¿Cuáles son las probabilidades de elección de un muchacho de ese grupo?

Answer 2

Estamos tratando con distribución hipergeométrica multivariante.

Dé a los grupos de números de $1,2,3,4,5$.

Deje $\mathbf{X}=\left(X_{i,j}\right)$ denotar un $5\times2$ matriz de variables aleatorias. Aquí $X_{i,1}$ denota el número de niñas en grupo $i$ $X_{i,2}$ indica que el número de niños en el grupo $i$.

Deje $S$ denotar la colección de $5\times2$ matrices $\mathbf{x}=\left(x_{i,j}\right)$ tal que el $x_{i,j}$ son números enteros no negativos que satisfacer $x_{i,1}+x_{i,2}=4$ para$i=1,\dots,5$$x_{1,j}+\cdots+x_{5,j}=10$$j=1,2$.

A continuación, $S$ sirve como soporte de $\mathbf{X}$: $$\Pr\left(\mathbf{X}=\mathbf{x}\right)=\frac{\left(10!\right)^{2}\left(4!\right)^{5}}{20!\prod_{i=1}^{5}\prod_{j=1}^{2}x_{i,j}!}$$ para $\mathbf{x}\in S$.

Deje $R:=\left\{ \mathbf{x}\in S\mid\exists i,j\; x_{i,j}=0\right\} $.

Entonces usted está pidiendo $\sum_{\mathbf{x}\in R}\Pr\left(\mathbf{X}=x\right)$.

Un buen trabajo para encontrar esto. Uptil ahora no veo una ruta más corta y quedará gratamente sorprendido si parece que hay uno.

Answer 3

Supongo que al menos uno mismo sexo en grupo debe estar allí.

Es suficiente para distribuir a las niñas en $20$ ranuras, los chicos obtienen automáticamente ranuras restantes.

Recuento de la desfavorable maneras de utilizar [ tragamonedas para el patrón ] $\times$ [ permutar ]

$3-3-2-1-1:\; \binom43^2\binom42\binom41^2\frac{5!}{2!2!}$

$3-2-2-2-1:\; \binom43\binom42^3\binom41\frac{5!}{3!} $

$2-2-2-2-2:\; \binom42^5$

Agregar hasta obtener desfavorable maneras $= K,\;\;say$

y $Pr = 1 - \dfrac{K}{\binom{20}{10}}$

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AÑADIÓ:

Si, por el contrario, desea contar exactamente uno mismo sexo en grupo, contar las maneras para los siguientes modelos. El método ya ha sido explicado.

$4-3-1-1-1:$
$4-2-2-1-1:$
$3-3-3-1-0:$
$3-3-2-2-0:$