Pregunta sobre la prueba M de Weierstrass

Question

La prueba M de Weierstrass dice que dada una secuencia de funciones $(u_{n}(x))$ donde $x \in I$ si existe una serie convergente $\sum a_{n}$ tal que $|u_{n}(x)|\leq a_{n}$ para todos $n$ y $x\in I$ entonces $\sum u_{n}(x)$ converge uniformemente en $I$ .

¿Y lo contrario?

Si $\sum u_{n}(x)$ converge uniformemente en $I$ entonces existe una serie convergente $\sum g_{n}$ tal que $|u_{n}(x)|\leq g_{n}$ para todos $n$ y $x \in I$ .

Como el teorema no tiene la forma de "si y sólo si", estoy tratando de pensar en un ejemplo para contrarrestar lo anterior:

Mi intento fue definir una secuencia de funciones como ésta:

Entonces, tomando $u_{1}(x)=f_{1}(x),\ u_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$ . Se puede demostrar que $f_{n}(x)$ converge uniformemente en $[1, \infty)$ Por lo tanto $u_{n}(x)$ también lo hace.

Pero $|u_{n}(1)|=|f_{n}(1)|$ que es la secuencia constante: $1, 1, 1, ...$ . Si suponemos por contradicción que existe tal secuencia $1\leq g_{n}$ que $\sum g_{n}$ converge entonces por la prueba de comparación $\sum 1$ converge, lo que obviamente no es cierto.

En primer lugar, me gustaría saber si lo anterior es cierto. Me ha llevado bastante tiempo pensar en algo y ni siquiera estoy seguro de que sea cierto.

Además, me resulta muy difícil visualizar estas funciones complicadas (como la de arriba) en las que tanto $x$ y $n$ juegan un papel. ¿Existe una forma más fácil de abordar estas cuestiones?

Answer 1

Lo primero que se me ocurre es considerar una serie constante, es decir, que no dependa de ninguna variable. Esto seguramente convergerá uniformemente.

Así que el siguiente paso es pensar en su segunda condición, para que esto falle funcionaría si la serie no converge absolutamente.

Esto nos lleva al ejemplo más sencillo que se me ocurre:

$$\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n}$$

Answer 2

Hace casi cien años G.H. Hardy demostró que existen series de potencia sobre $\mathbb{C}$ que convergen uniformemente en el disco unitario cerrado pero no absolutamente en la frontera, lo que equivale a decir que la hipótesis de la prueba M de Weierstrass no se cumple (A theorem concerning Taylor's series, Quart. J. Pure Appl. Math. 44 (1913), 147-160). He publicado algunas referencias que incluyen enlaces a ejemplos aquí .

Answer 3

$u_n = f_n - f_{n-1}$ y $u_n(1) = 0$ para n>1. Sin embargo, si $a_n = \sup_{x\in I} |u_n(x)|$ , usted tiene $a_n \geq u_n(n) = 1/n$ sigue siendo una secuencia divergente.

Su idea de "difundir" donde las funciones $u_n$ están añadiendo cosas a lo largo del eje x es bueno : Nunca se agrega demasiado en una x específica para que la suma converja, pero se puede agregar suficientes cosas "grandes" en cada n para que $\Sigma a_n$ no converge.

Puedes utilizar esta idea para hacer un contraejemplo más claro:

Escoge $B(x)$ una función de bache en $\mathbb{R}$ con soporte en [0,1], por ejemplo una función afín a trozos con $B(0)=B(1) = 0$ y $B(1/2) = 1$ .

Entonces defina $u_n(x) = B(x-n)/n$ .

$\Sigma_{n\geq 1} u_n$ converge uniformemente porque en cada x, $\Sigma_{k\geq n} u_k(x) \leq 1/n$ . Sin embargo, $\Sigma_{n\geq 1} \sup_x |u_n(x)| = \Sigma_{n\geq 1} 1/n$ divergirá