versión efectiva del teorema de Mertens del producto de Euler

Question

Me estoy refiriendo a el teorema dado aquí, que es

$$\displaystyle\lim_{n\to \infty} \:\: \left(\frac1{\ln(n)} \cdot \left(\displaystyle\prod_{p\leq n} \frac1{1-\frac1p}\right)\right) \;\;\; = \;\;\; \exp(\hspace{.01 in}\gamma)$$

donde $p$ rangos de los números primos y $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.


Lo que más me interesa es un buen (eficaz) límite inferior de $\;\; \displaystyle\prod_{p\leq n} \: \left(1-\frac1p \right) \;\;$,
así que si tienes otra manera de conseguir un enlace, que trabajo demasiado.


De lo contrario, es explícitamente conocido cuán grande y $n$ es lo suficientemente grande para obtener $$\frac1{\ln(n)} \cdot \left(\displaystyle\prod_{p\leq n} \frac1{1-\frac1p}\right) \; < \; c$$

donde, por ejemplo, $\: c=2 \:$ o $\: c = \frac95 \;$?

Answer 1

Ver Teorema 6.12 en Pierre Dusart las Estimaciones de algunas de las funciones de los números primos sin RH. En particular, para todos los $x \ge 2973$ uno tiene la eficaz incondicional límite inferior: $$\prod_{p\le x}\left(1 - \frac1p\right) > \frac{e^{-\gamma}}{\ln x}\left(1 - \frac{0.2}{\ln^2 x}\right).$$

Así que, ya para $x$ en este rango es cierto que uno puede tomar $c = 1.78666$, que es mucho menor que $c=\tfrac95$. Una pequeña cantidad de cálculo sería todo lo que se necesita para obtener el menor $x$ que funciona.

Actualización: parece que $c=2$ es cierto para $n\ge 14$, mientras que $c=\tfrac95$ mantiene para $n \ge 469$.

Answer 2

Aquí es un lugar para empezar

$$\prod_{p\leq x}(1-\frac{1}{p})=e^{\sum_{p\leq x}\ln(1-\frac{1}{p})}=e^{\sum_{p\leq x}-\frac{1}{p}-\frac{1}{2p^2}-\frac{1}{3p^3}...}=ce^{-\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}}=c'e^{-\ln(\ln(x))}=\frac{c'}{\ln(x)}$$

Donde la última estimación proviene de $$\sum_{p\leq x} \frac{1}{p}=\ln(\ln(x))+O(1)$$

Yo creo que lo que debe hacer es obligado en los términos que aern no recíprocos de los números primos en la expansión del logaritmo, y, a continuación, obtener una buena estimación de la suma a $\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}$ por escrito y, posiblemente, en términos de una steiljes integral sobre la primer función de cuenta y, a continuación, utilizando una estimación de chebyshev para el convergente integral que involucra la primer función de conteo, para obtener una estimación de la constante de $c'$.