Condiciones para el nacimiento y la muerte del proceso con solamente finito muchas muertes.

Question

Considere la posibilidad de un nacimiento y proceso de la muerte en $\mathbb{N}=\left\{0,1,2,\ldots\right\}$, determinado por las probabilidades de transición de $p(n,n+1)=\lambda_n$ $p(n,n-1)=\mu_n$ (esas son las tasas de natalidad y mortalidad, respectivamente), los cuales satisfacen $\lambda_n+\mu_n=1$. Asumimos $\lambda_n$ $\mu_n$ a ser estrictamente positivo (por lo que este proceso es irreductible).

Estoy en busca de condiciones sobre los coeficientes $\lambda_n$ (e $\mu_n$) que implica que, con una probabilidad de $1$, casi cada recorrido de la muestra en este sistema se tienen sólo los nacimientos después de un cierto tiempo.

Más formalmente, vamos a $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ denotar el espacio de muestra de las rutas con el estándar de probabilidad induce por la matriz estocástica $P=(p(n,m))_{n,m=0}^\infty$ (teniendo en cuenta la distribución inicial como la de Dirac-distribución centrada en $0$). Estoy en busca de condiciones sobre los coeficientes $\lambda_n$$\mu_n$, lo que implica que para un.e. recorrido de la muestra se $(x_n)_{n=0}^\infty\in\mathbb{N}^\mathbb{N}$, existe un número natural $N$ tal que $x_{N+k}=x_N+k$ todos los $k\geq 0$ (lo que significa que no hay muertes después de tiempo $N$).

Tal condición sería probablemente de la forma "Si $\mu_n$ decae muy rápido], entonces casi cualquier recorrido de la muestra se tiene sólo un número finito de muertes". Esto es en realidad equivalente a casi todos los de la muestra la ruta de $(x_n)_{n=0}^\infty$, el límite de $\lim_{n\to\infty} (n-x_n)$ (tenga en cuenta que $n-x_n$ es simplemente el doble del número de muertes que se han producido entre los tiempos de $0$$n$).

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Esto es lo que he hecho hasta ahora: podemos calcular la probabilidad de que una muestra de la trayectoria de tener sólo un número finito de muertes. Más precisamente,

1. La probabilidad de que una muestra de la trayectoria de tener solamente el $1$ la muerte es $\lambda_0\lambda_1\lambda_2\cdots=\prod_{j=1}^\infty \lambda_j$ (el único camino es $(0,1,2,3,\ldots)$, e $\lambda_0=1$)

2. Si una ruta de ejemplo tiene sólo una muerte en tiempo de $n$, entonces es el camino de $(0,\ldots,n,n-1,n,n+1,n+2,\ldots)$, y la probabilidad de que ocurran es $\lambda_0\cdots\lambda_{n-1}\mu_n\lambda_{n-1}\lambda_n\lambda_{n+1}\cdots=\mu_n\lambda_{n-1}(\prod_{j=1}^\infty\lambda_j)$. Por lo tanto, la probabilidad de una ruta de ejemplo tener precisamente una muerte es $(\prod_{j=1}^\infty\lambda_j)(\sum_{n=1}^\infty\mu_n\lambda_{n-1})$.

(El argumento en el siguiente párrafo es demasiado simplista, pero estoy bastante seguro de que esto es cierto. Esto se hace más claro si queremos calcular la probabilidad de una ruta de ejemplo tener 2 muertes, pero el argumento sería wuite de largo).

La nota 2. arriba, que una muerte en el tiempo $n$ afecta la probabilidad por un término de la forma $\mu_n\lambda_{n-1}$. Si el recorrido de la muestra se $(x_0=0,1=x_1,x_2,\ldots)$ $k$ de muertes en los tiempos de $n_1,n_2,\ldots,n_k$, en ese orden, después de este tiempo $n_i$, $x_{n_{i+1}}$ será, al menos,$x_{n_{i}}-1$. Por lo tanto la probabilidad de una ruta de ejemplo tener, precisamente, $k$ de muertes es $$(\prod_{j=1}^\infty\lambda_j)\sum\left\{\mu_{n_1}\lambda_{n_1-1}\cdots\mu_{n_k}\lambda_{n_k-1}:n_i\geq 1,\ n_{i+1}\geq n_i-1\right\}.$$

Por lo tanto, la probabilidad de un camino de tener sólo finitely (incluyendo $0$) muchas de las muertes se $$(\prod_{j=1}^\infty\lambda_j)\left(1+\sum\left\{\mu_{n_1}\lambda_{n_1-1}\cdots\mu_{n_k}\lambda_{n_k-1}:k\geq 1,n_i\geq 1,\ n_{i+1}\geq n_i-1\right\}\right).$$ Por lo tanto, una.e. recorrido de la muestra se tiene sólo un número finito de muertes si el chico feo hasta aquí es igual a $1$. En particular,$0<\prod_{j=1}^\infty\lambda_j=\prod_{j=1}^\infty(1-\mu_j)$, y si recuerdo correctamente, esto es equivalente a $\sum\mu_j<\infty$ (simplemente tome $\log$'s, etc...).

Espero que alguien tiene una mejor condición de que casi siempre tener sólo un número finito de muertes.

Answer 1

Un elemental argumento que podemos hacer es la siguiente: a Definir por $d_n$ el número esperado de muertes que se producen antes de que nos alcance el estado de $n+1$, dado que se inicio en el estado de $n$. Claramente tenemos $d_0=0$. Además, podemos escribir una expresión para $d_n$ tomando nota de que, con probabilidad de $\lambda_n$, vamos a tener ninguna de las muertes antes de alcanzar el estado de $n+1$, y con una probabilidad de $\mu_n$ vamos a tener una muerte adicional, regresar al estado $n-1$, esperando a $d_{n-1}$ de las muertes antes de regresar al estado de $n$ $d_n$ más esperado de muertes antes de que el estado de $n+1$: $$d_n=\mu_n(d_{n-1}+d_n+1)$$ $$d_n=\frac{\mu}{1-\mu}(d_{n-1}+1).$$ Es muy claro que el número esperado de muertes, en general, es $D=\sum_{n=0}^{\infty }d_n$, ya que esperan $d_0$ de las muertes antes de alcanzar el estado de $1$, e $d_1$ más de muertes antes de alcanzar el estado de $2$ $d_2$ de las muertes antes de alcanzar el estado de $3$ y así sucesivamente. Si $D$ es finito, la probabilidad de que una muestra dada de tener sólo un número finito de muertes debe ser $1$, ya que si, con probabilidad positiva, infinitas muertes que podría suceder, $D$ a divergir.

Tenga en cuenta que es obvio que $\mu_n\rightarrow 0$ al $n\rightarrow\infty$. Podemos usar este crudo, pero claramente condición necesaria para encontrar una condición suficiente. En particular, elegir algunos $N$ tal que para todos los $n>N$ sostiene que $\mu_n<\frac{1}3$. Entonces, tenemos que $$d_n<\frac{1}2(d_{n-1}+1)$$ que, en particular, implica que, como la serie de $d_n$ está convergiendo de manera exponencial hacia la $1$, que para las grandes suficientemente $N'>N$ va a sostener que, para todos los $n>N'$ hemos $$0< d_{n-1}<2$$ lo que implica, además, que $$\frac{\mu_n}{1-\mu_n}<d_n<\frac{3\mu_n}{1-\mu_n}$$ y ya tenemos $0<\mu_n<\frac{1}3$ en este rango, podemos obligado de las proporciones: $$\mu_n < d_n < \frac{9}2\mu_n$$ que, al ser lineal límites significa que $D=\sum_{i=0}^{\infty}d_n$ converge si y sólo si $\sum_{i=0}^{\infty}\mu_n$. Desde $D$ existente implica que hay un número finito de muertes en casi todos los casos, esto significa que $\sum_{i=0}^{\infty}\mu_n$ converger a un valor finito es una condición suficiente. (Un argumento que esto también es necesario también se proporciona a continuación)

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También, para dar cuerpo a los comentarios, porque el saber acerca de la prueba de Kolmogorov-cero uno de la ley es un plus, para resolver este uso que, observe que el evento "hay sólo un número finito de muertes" es una cola de eventos ya que (en el espacio ilimitado de rutas; el conjunto de limitada caminos, obviamente, tiene una medida de $0$, por lo que ignoramos es) puede ser definido en base a la serie de eventos independientes $X_n$ se define como "hay una transición $n$ $n-1$en algún momento" y el cambio de un número finito de $X_n$ no cambia si hay sólo un número finito de muertes. El cero-la ley de los estados que esto significa que la probabilidad de que exista un número finito de muertes es $1$ o $0$.

Podemos notar que la probabilidad de que hay sólo un número finito de muertes es, al menos, la probabilidad de no ser $0$ de muertes, que es $$\prod_{n=0}^{\infty} (1-\mu_n)$$ que es mayor que $0$ si y sólo si $\sum_{n=0}^{\infty}\mu_n$ converge. En ese caso, la probabilidad de que exista un número finito de muertes es positivo, y por lo tanto es igual a $1$, por el cero-uno de la ley. Por el contrario, supongamos que la probabilidad de no ser $0$ defunciones $0$ - es decir, la suma de los $\mu_n$ diverge. Esto implica que la probabilidad de no ser $0$ de muertes, a partir de una población de $n$ $0$ - que a su vez, implica que la probabilidad de una muerte adicional que ocurren eventualmente, independientemente de la secuencia de inicio, es $1$, por lo que la probabilidad de que haya exactamente $n$ muertes que ocurren en el es $0$ cualquier $n$ y, "un número finito de" ser una contables de la unión de "ninguno", "exactamente uno", "dos", $\ldots$, cada una con probabilidad de $0$, es decir, casi siempre hay infinitamente muchas de las muertes en este caso.