¿Alguien conoce un buen método para encontrar un límite inferior de la dimensión de Hausdorff de un conjunto $G$ ?
El único método que he encontrado es encontrar un $\alpha$ -Función de Hölder $f \colon G \to H$ entonces $\dim_H(G) \geq \alpha \dim_H(\operatorname{im}(f))$ . Elección de $f$ inteligentemente significará que $\operatorname{im}(f)$ será un conjunto cuya dimensión de Hausdorff ya se conoce (o al menos se conoce un límite inferior para ella).
No hay límite inferior basado en el potencial teórico de los métodos. Aún así, usted necesita tener una medida $\mu$ apoyado en su conjunto $E$. Definir el $s$-energía de $\mu$
$I_s(\mu) = \iint |x-y|^{-s} \mu({\rm d} x) \mu({\rm d} y)$
Si $I_s(\mu) < \infty$,$\dim_{\rm H} (E) \geq s$. [Teorema 4.13, Falconer la Geometría Fractal de la 2ª Ed.] Si mal no recuerdo, la prueba de la siguiente manera a partir de la densidad límite inferior que Gerald le dio. Pero si su medida permite un fácil cálculo de potencial, entonces podría ser más conveniente.
Además, tiene la siguiente caracterización de la dimensión de Hausdorff:
$\dim_{\rm H} (E) = \inf \{ s \geq 0 : C_s(E) = 0 \} = \sup \{s \geq 0 : C_s(E) > 0\}$,
donde $C_s(E)$ $s$- capacidad de $E$, que se define como
$C_s(E) = \sup\{I_s(\mu)^{-1}: \mu \text{ is a probability measure supported on }E \}$
También hay límites inferiores basado en la transformada de Fourier de $\mu$. Ver 4.4 Segundos de Falconer del libro.
Límite superior para la dimensión de Hausdorff es a menudo fácil, a partir de la definición.
Límite inferior puede ser más difícil. Un método puede ser utilizado si usted tiene una medida en su conjunto. Aún mejor, una medida que, naturalmente, encaja con la estructura del conjunto. A continuación, los límites inferiores para la dimensión de Hausdorff provienen de la densidad de los cálculos necesarios para esa medida.
(Podría citar mi propio libro que aquí se considera grosero?)
Embalaje dimensión puede ser opuesto. El límite inferior es fácil a partir de la definición, pero el límite superior más difícil. De nuevo una densidad con respeact a una medida que puede ayudar con este límite superior.
añadido el 4 de Marzo de
Esta densidad teorema se encuentra en: G. Edgar, Integral, Probabilidad y Fractal Medidas (Springer 1998) Teorema de 1.5.14, p. 52.
Definiciones ... Vamos a $E \subseteq \mathbb{R}^n$ ser un conjunto de Borel, vamos a $\mu$ ser distinto de cero de la medida en $E$, vamos a $s>0$ ser un número real. Escribir $$ B_r(x) = \{y \E \colon |y-x|\le r\} $$ para un cierre de bola. La parte superior de $s$-densidad de $\mu$ a un punto de $x \in \mathbb{R}^n$ es $$ \overline{D}^s_\mu(x) = \limsup_{r \to 0} \frac{\mu(B_r(x))}{(2r)^s} . $$
Una consecuencia del Teorema de 1.5.14 es entonces: Si $\sup_{x \in E} \overline{D}^s_\mu(x) < \infty$, entonces la dimensión de Hausdorff de $E$ al menos $s$.
Encontrar buenas cotas inferiores de la dimensión de Hausdorff de los atractores para disipadores a los sistemas dinámicos es un problema muy difícil.
En la década de 1970 Arnold declaró explícitamente que como un importante problema abierto en el caso de la 2D ecuaciones de Navier-Stokes en un almacén de dominio (véase el compendio de Arnold problemas); en diversas formas, la pregunta probablemente se remonta a prueba de Kolmogorov del seminario en la década de 1950. Si atrractor la dimensión puede ser mostrado a crecer indefinidamente a lo largo del número de Reynolds Re, esto puede ser interpretado como una manifestación de la turbulencia del flujo del fluido.
La parte superior de las estimaciones de atractores' dimensión de Hausdorff son mucho más fáciles. Por ejemplo, el mejor resultado conocido para el 2D ecuaciones de Navier-Stokes con las condiciones de contorno de Dirichlet en el dominio $\Omega$ dice que
$$\dim_H {\rm Attr}\leq \frac{|\Omega|}{\pi \nu^2}\ \|f\|_{L^2}$$
(aquí se $\nu$ es la viscosidad y $f$ es la fuerza externa). No hay ninguna satisfactoria inferior límites de la dimensión de Hausdorff en este caso. La situación es ligeramente mejor en el caso de las ecuaciones de Navier-Stokes en un toro: buenas cotas inferiores son conocidos, pero sólo muy específicas de las fuerzas de $f$.
Para una familia de fractales es relativamente sencillo método: Si el conjunto de $G$ es el punto fijo de un conjunto de similitudes $S_1,\ldots,S_n$ , con una contracción de los factores de $s_1,\ldots,s_n$, entonces la dimensión de Hausdorff $D$ satisface $$\sum_{i=1}^n s_i^D=1.$$ A bit more explanation may be in order: Each $S_i$ is an affine map on the form $S_i=a_i+s_iR_i$ where $R_i$ is a rotation (mirror symmetries allowed). These produce a map $S$ on the set of nonempty compact subsets of $\mathbb{R}^d$, say, given by $$S(F)=\bigcup_{i=1}^n S_i(F).$$ This map is a contraction in the Hausdorff metric on the space, and $G$ es el único punto fijo de la mapa.
Hay una salvedad: Los conjuntos de $S_i(G)$ deben ser mutuamente disjuntos, o casi. Por ejemplo, el triángulo de Sierpinski: es generado por tres semejanzas cada asignación de un triángulo dado a la mitad tan grande, por lo que deberíamos $3\cdot(1/2)^D=1$. Pero los tres subtriangles se reúnen en tres puntos diferentes; sin embargo, estos puntos son las esquinas, y esto cuenta como insignificante.
Me disculpo por no tener una referencia útil. Esto lo aprendí de una nota escrita a mano que también carecía de referencias, y yo no he tenido la fortaleza para ir y persecución hacia abajo. Si usted puede leer noruego, hay una prueba en mi pequeña nota aquí. La idea principal de la prueba es bastante simple, sin embargo: Es una cuestión de la que cubre $G$ por pequeñas bolas y ver cómo estas cubiertas escala en $S_i$.
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