condición de normalidad y cohen-macaulay

Question

Yo no soy un experto en el sentido geométrico de la normalidad/Cohen Macaulay, por tanto, las siguientes preguntas podrían parecer muy estúpido.

1. Hay ejemplos de conectado variedades de más de un campo cuyo irreductible componentes son suaves y se intersecan en un circuito cerrado de codimension $> 1$?
2. Son estas variedades normales, incluso si no son irreducibles?
3. Si la variedad es Cohen-Macaulay, con suave irreductible componentes, ¿esto implica que se cruzan en codimension $> 1$?
4. En los casos en que he Cohen-Macaulay + intersección de codimension $> 1$, tengo la normalidad de todo el conjunto de cosas o también tengo irreductibilidad?
5. En general, las necesidades de la normalidad para ampliar las secciones de una línea de paquete. ¿La condición de que el singular lugar ha codimension $> 1$ hacer que funcione también en el no irreductible caso? Con esto quiero decir que tengo una línea de bulto en estos liso componentes fuera de sus intersecciones y quiero extender a toda la variedad, posiblemente de una manera única.

Gracias

Answer 1

Considere la posibilidad de $A=k[x,y]/(xy)$$X=\mathrm{Spec} \ A$. Este es un conectada variedad con dos irreductible de los componentes que se encuentran en un cerrado subscheme de codimension $1$. (Es la unión de la $x$ $y$- eje en la afín a su lugar). Así que no es lo que quieres en la pregunta 1.

Deje $X$ ser conectado variedad irreducible componentes $X_1,\ldots, X_n$.

Si $X$ no es equidimensional suceden cosas divertidas. Por ejemplo, puede pegar los afín a la línea del plano afín en un punto. Este es un conectada variedad de dimensión "dos". Su irreductible componentes se intersecan en un punto. Así que esto responde a tu primera pregunta, aunque de una manera insatisfactoria debido a sus variedades son probablemente equidimensional. (Así que la respuesta a q1 es sí.)

Para tu segunda pregunta, se pueden hacer cosas similares. Sólo pegamento singular de la curva de un singular superficie a lo largo de un punto suave. El esquema resultante no es normal, pero su irreductible componentes se intersecan en un punto de codimension 2.