Análisis de problema: Demostrar que limita $f$ $I$

Question

Deje $I=[a,b]$ y deje $f:I\to {\mathbb R}$ ser (no necesariamente continua) de la función con la propiedad de que para cada $x∈I$, la función de $f$ está delimitada en un vecindario $V_{d_x}(x)$$x$. Demostrar que $f$ está delimitada en $I$.

Hasta ahora tengo que,

Para todos los $n∈I$ existe $x_n∈[a,b]$ tal que $|f(x_n)|>n$. Por el Bolzano, Weierstrass teorema desde $I$ está delimitado tenemos la secuencia $X=(x_n)$ está acotada. Esto implica que hay una convergente sub-secuencia $X'=(x_{n_r})$ $X$ que converge a $c$, $c∈[a,b]$. Desde $I$ está cerrada y que el elemento de $X'$ pertenece a $I$, se deduce del teorema anterior que he demostrado que los $c∈I$. Aquí es donde me quedo atascado, quiero aprovechar que la función de $f$ está delimitada en un vecindario $V_{d_x}(x)$ alguna manera de demostrar que $f$ está delimitada en $I$. No estoy seguro de cómo proceder.

$f$ está delimitada en $I$ significa que si existe una d-vecindario $V_d(c)$ $c$ y una constante de $M>0$ de tal manera que tenemos $|f(x)|\leq M$ todos los $x$$A ∩ V_d(c)$.

Me gustaría intentar hacer una prueba por contradicción de alguna manera.

Answer 1

Así que, por hipótesis, tiene una bola abierta $V_d(c)$ y $M$ tal que $|f(x)|\le M$ % todo $x\in I\cap V_d(c)$(creo que quisiste decir $I$, no $V$). Pero sabes que converge la secuencia $(x_{n_r})$ $c$. Esto significa que hay un $m$ así que $x_{n_r}\in I\cap V_d(c)$ cuando $r>m$. Ahora de la manera que usted selecciona el $x_n$, ¿qué puede usted concluir?

Answer 2

Si no puede utilizar el Heine-Borel teorema, argumentar a través de sup. He aquí un boceto:

Deje $A= \{ x \in I : f \text{ is bounded in } [a,x] \}$. A continuación, $A$ no está vacía, debido a que $a\in A$. También, $A$ está delimitado por encima de debido a $A\le b$.

Probar que si $x\in A$ $x<b$ $x+h\in A$ algunos $h>0$ que $f$ es localmente acotada en $x$. Esto significa que no $x< b$ es un límite superior para $A$, lo que implica que $b=\sup A$.

Finalmente, el uso de ese $f$ es localmente acotada en $b$, sostienen que el $b \in A$, lo que demuestra que $f$ está delimitado en $I$.

Esta prueba aparece en Spivak del Cálculo.

Answer 3

Supongamos que $f$ es ilimitado. Entonces existe $x_n \in [a,b]$ (por ejemplo) $\lim_{n \to \infty}f(x_n)=\infty$. Debido a que la secuencia de $x_n$ es acotado, se tiene un convergentes larga, denotan también se $x_n \to x_0 \in [a,b]$. Utilice el hecho de que $f$ está delimitado cerca de $x_0$ a derivar una contradicción.

Es justo lo que usted hizo, pero que denota el límite con $c$. La idea es tomar una vecindad de este punto, y el aviso de que en cualquier barrio hay casi todos los términos de la secuencia de $x_n$, por lo que los valores de $f$ son muy grandes.

Answer 4

Prueba por contradicción:

Si suponemos que $f$ es ilimitada en un barrio $V_{x_0}$ $x_0\in I$ existe un % de la secuencia $(Z_n)\in V_{x_0}$, $Z_n\to x_0$ y $|f(Z_n)|\to +\infty$ y que es contradictorio con el hecho de que $f$ está localmente delimitada $I$.

Answer 5

Esta es una aplicación simple de Heine-Borel teorema. Para cada una de las $x \in I$ no es un barrio de $V_x$ $x$ y una constante de $M_x$ tal que $|f(y)| \leq M_x$$y \in V_x$. Los conjuntos de $V_x$ cubierta $I$, por lo que, por el de Heine-Borel teorema, existe un número finito de subcover $I = V_{x_1} \cup \ldots \cup V_{x_n}$$x_i \in I$. A continuación, $f$ está delimitada en $I$ a un máximo de $M_{x_1},\ldots,M_{x_n}$.

EDIT: también se puede hacer por la contradicción, sin que el de Heine-Borel teorema. Si $f$ es ilimitado, a continuación, hay una secuencia $(x_n)$ tal que $\{|f(x_i)| : i\in \mathbb N\}$ es ilimitado. Desde $I$ es acotado y cerrado, por la de Bolzano-Weierstrass teorema, se puede asumir que el $(x_n)$ es convergente para algunos $x \in I$. Hay un barrio de $V_x$ $x$ tal que $f$ está delimitada en $V_x$. Por la definición de convergencia, todos excepto un número finito de elementos de $(x_n)$$V_x$. Pero, a continuación, $\{ |f(x_i)| : i \in \mathbb N \}$ está delimitado, lo cual es una contradicción.