Es posible elegir una al azar número natural? Cómo sobre un número real aleatorio? Es el axioma de elección metido en esto?
Respuestas
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La pregunta es ¿qué significa "por azar". Recuerde que la matemática se construye sobre la precisión. Esto significa que los términos que se están utilizando tiene que tener un significado preciso (o al menos razonablemente obvio manera cómo traducirlas a tal).
Azar no es uno de estos términos. El significado natural de "random", en realidad, significa "arbitraria". Para elegir un elemento arbitrario de un conjunto no vacío no necesita nada excepto existencial de la creación de instancias, lo cual nos permite ir de "algo" a "Esto es algo". Por supuesto, no se puede decir que el elemento fue tomada cuando se crea la instancia de un cuantificador existencial. Ese es el verdadero sentido de la palabra arbitrario.
Por otro lado, a partir de la probabilidad de punto de vista, al azar, sólo significa que usted tiene algunas distribuciones que te dice cuáles son las probabilidades de que un elemento de una colección particular de elemento. Podría no ser capaz de asignar probabilidad a cada colección, aunque.
La probabilidad tiene un par de axiomas, uno de ellos dice que dado countably muchos pares de conjuntos disjuntos, la probabilidad de estar en uno de ellos es la suma de todas las probabilidades. Otra es que la probabilidad de escoger cualquier elemento es $1$.
Ahora es fácil ver por qué un countably conjunto infinito no tiene ninguna probabilidad que asigna los únicos probabilidad de $0$. Porque un countably conjunto infinito puede ser escrito como la contable de la unión de singleton, y los axiomas de la probabilidad significaría que asignamos la probabilidad de escoger cualquier elemento de un conjunto, como $0$, lo cual es imposible. Por otro lado, no se tiene que la probabilidad de que cualquier número es igual a la otra, y que no sea cero, desde entonces, la probabilidad de escoger cualquier cosa es infinito (será la suma de una constante número positivo). Así que, esencialmente, se dice que algunos números tienen una mejor oportunidad de ser elegidos que otros, que no podría encajar con la naturaleza y el significado de la palabra "azar", la que nos gusta pensar acerca de como una distribución uniforme, permitiendo que cada uno de posibilidad de la misma posibilidad de ser seleccionados.
En los números reales es mejor, a pesar de que, como una multitud innumerable, y más específicamente, un conjunto que tiene esas encantadoras características que los números reales disfrutar de. Estos nos permiten definir un surtido de probabilidades donde los únicos han probabilidad de $0$. Podemos limitarnos a la intervalo de $[0,1]$, y no en todo el conjunto de los números reales, y luego tenemos una muy buena probabilidad, la cual asigna un intervalo de $[a,b]$ la probabilidad de su longitud, $b-a$.
Hasta el momento, no hizo ningún recurso para el axioma de elección. O nos hemos? Resulta que sin el axioma de elección de los números reales puede ser expresada como el contable de la unión de conjuntos contables. Si permitimos que una probabilidad de ser countably aditivo, esto significa que no hay manera de definir una probabilidad en los números reales. Simplemente extender el problema de contables de los conjuntos de los números reales. Tenga en cuenta que esto no significa que los números reales son contables, el hecho de que el contable de la unión de conjuntos contables es contable depende del axioma de elección.
Pero finalmente, se puede notar, no hemos recogido ningún número! Esto es debido a que la probabilidad de no lidiar con la recolección del número real, sólo con las probabilidades de que el número está en un grupo o en otro. El más cercano a escoger un número en el que puedo pensar, que un número arbitrario, es existencial de la creación de instancias que hemos hablado antes.
Solomonoff's Secret
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2478
Hay distribuciones más de todos los números naturales, tales como la distribución Geométrica, y de las distribuciones más de todos los números reales, tales como la distribución normal.
Pero no hay una distribución uniforme en cualquiera de los casos. Usted puede ver esto como sigue: si hay una distribución uniforme sobre números naturales, se tendría que asignar una cierta probabilidad de $p$ a cada número natural. Si $p = 0$ el total de la probabilidad de $\sum_{n\in\mathbb{N}} p(n)$ es 0. Pero si $p > 0$ el total de la probabilidad es $\infty$. En cualquier caso no tenemos una distribución válido.
Del mismo modo, si hay una distribución uniforme sobre los números reales, se tendría que asignar una cierta probabilidad de $p$ a cada intervalo de la forma$[n, n+1)$$n\in\mathbb{Z}$. A continuación, un equivalente argumento anterior muestra que el $p$ no puede ser 0 ni mayor que 0, así que no hay tal distribución existe.
Si quieres decir algo más, por favor aclarar tu pregunta.
notpeter
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588
La primera pregunta es fácil: para decidir lo que significa escoger una al azar número natural, tenemos una distribución de probabilidad, que es sólo una asignación de una probabilidad de $p_n$ a cada una de las $n$ tal que $\sum p_n=1$. Pero para tener esa suma, no podemos tener toda la $p_n$ igual así que en ese sentido no hay una manera estándar de selección aleatoria de número natural.
En el caso de los números naturales, es bastante fácil de describir cómo tomar una decisión una vez que hemos elegido una distribución: asignar a cada una de las $n$ el intervalo de $I_n=[\sum_{m< n} p_m,\sum_{m \leq n} p_n]\subset [0,1]$, a continuación, mover de un tirón un montón de monedas para obtener una aproximación de algún número real $x\in [0,1]$ (en concreto, un segmento de los binarios de expansión de $x$.) Después de bastante volteretas en el que vamos a aprender en la que $I_n$ $x$ encuentra y, a continuación, elija $n$ como "aleatoria" número. Observar esto definitivamente no es atractiva para el axioma de elección: AC es realmente acerca de la elección de elementos de un resumen de los conjuntos, mientras que es muy fácil elegir los elementos de $\mathbb{N}$ desde los números naturales tienen mucho estructura.
Las cosas se complican en el caso de los números reales. Por la misma razón que el anterior, no hay ninguna distribución con igualdad de probabilidades para todos los números, pero es aún peor: no en realidad no puede ser más que countably muchos números con un valor distinto de cero de la probabilidad en todos! (Esto se deduce del hecho de que una innumerable suma de números positivos es siempre infinito.) De hecho, la más interesante de las distribuciones de probabilidad de los números reales asignar una probabilidad de cero para cada real. En ese caso, no hay realmente ninguna manera de elegir una al azar real, porque los intervalos correspondientes a $I_n$ por encima están a un solo punto, y no podemos escoger un único número real por voltear un número finito de monedas. Pero nos hacen tener positivos probabilidades de aterrizaje en ciertos intervalos de $[a,b]$. Hacer esos intervalos muy pequeños y escoger al azar a partir de ellos-de acuerdo con algunos de distribución de probabilidad-es el más cercano que uno puede llegar a escoger al azar un número real.
theage
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2210
Esto podría no ser muy útil, pero aquí es otra razón por la que esto no debería ser posible.
En primer lugar, vamos a decir que "escoger un número real aleatorio $x$", significa que $x$ tiene la misma probabilidad de ser cualquier número real. Por lo tanto $\mathscr P(x=\pi) = \mathscr P(x=e^{41}) =\dots$
A continuación, defina la función de $D(y) :=\mathscr P(x=y)$ (aproximadamente). Esto no es completamente rigurosa, pero es suficiente. $D$ se llama a la función de densidad de probabilidad -- lo que te gustaría es $D$ a de ser una constante. Intuitivamente, si se elige al azar un número real, entonces la probabilidad de que, digamos, $\pi$ será cero (sólo hay también muchas otras cosas que podría ser).
Tomando otro nivel de rigor, el siguiente debe mantener para $D$:
$$\int_{-\infty}^{\infty}D(x)dx = 1$$
Este es, básicamente, diciendo que la probabilidad de que usted ha elegido algo es $1$. Si quieres cumplir con esto, $D(x)$ (el que desea ser constante), lo que claramente no puede ser cero, ya $\int_{\mathbb R} 0dx = 0$. Si $D\neq 0$ es constante:
$$\int_{-\infty}^{\infty}Ddx = Dx\,\biggr\rvert_{-\infty}^{\infty}\neq 1$$
Por lo tanto, usted puede tener ninguna constante de densidad de probabilidad en $\mathbb R$.
Jodiug
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61
Yo no voy a hacer esto muy complicado y largo, como todos los demás que respondieron lo hicieron, pero me gustaría decirle a usted que la probabilidad de obtener un número de tamaño imaginable está cerca de cero. Antes de comenzar, me gustaría recordar dos ideas:
- La probabilidad de un suceso es igual al resultado deseado, dividido por la cantidad total de resultados: P(E) = Resultado/cantidad Total de resultados
- El conjunto de los números naturales oscila entre 1 y en y en, pero no muy a infinito (es un concepto no es un número: no está en el número de la línea, pero, ¿cuántos números que existen en el número de línea), incluyendo todos los números enteros a partir de 1 y no incluyendo el cero.
Así que, en mi concepto se demuestra totalmente con ejemplos (que se aplican, así que quédate conmigo). De vuelta al modelo de probabilidad, no nos preocupemos acerca de la cantidad total de resultados (infinito); sólo ten en cuenta que está establecido e invariable para todos los ejemplos siguientes. ¿Por qué no empezar con algo ya bastante grande, mil millones! La cantidad de resultados, o de acontecimientos, de obtener un número elegido al azar es menor que (o igual a) un mil millones - un mil millones de dólares. (Aviso que estoy usando "ocurrencias" y "resultados" en lugar de "probabilidad" dado que sólo estamos discutiendo el número de resultados y no de hablar sobre el total de los resultados.) El número de ocurrencias de obtener un número mayor que el de un mil millones de dólares es el infinito, y todos sabemos que el infinito es infinitamente más grande que cualquier número real; que 1,000,000,000 es sin duda. Esto funciona para cualquier número que usted posiblemente puede pensar: tomar un número bastante grande, el googolplex (1 con 10.000 ceros). El número de resultados de la escogiendo al azar un número natural menor que (o igual a) googolplex es un googolplex, mientras mayor de lo que es, es todavía el infinito. Para concluir, el número que usted elija al azar de todos los números naturales va a ser un número natural, sin embargo va a ser inimaginablemente grande. Los números reales es totalmente diferente de la materia, porque incluye infinito incontable, los números irracionales, números negativos... yo solo soy un estudiante de Primer año así que no quiero abordar ese problema todavía.
