Construcción de nociones Dual a través de la dualidad

Question

Primero de todo, no tengo mucha experiencia en las matemáticas y tengo la mínima categoría de la teoría del conocimiento. Solo estoy tratando de entender una o dos cosas acerca de la categoría de teoría, porque el concepto suena interesante. Por favor, no dan respuestas como aquellos en MacLane del libro i.e respuestas para el trabajo matemático.

Entiendo que en las dos categorías, todos los morfismos son esencialmente invertida.

Por ejemplo, tener este Retroceso en la categoría de conjuntos, va a revertir $p_1$ $p_2$ dejando a todos los elementos dentro del conjunto como son y las funciones representadas por los morfismos $p_1$,$p_2$ también como es, pero sólo cambiar el dominio y codominio hacer un pushout?

Answer 1

Agregar a @frabala 's respuesta:

Un retroceso en la categoría de $C$ corresponde a un pushout en la categoría de $C^{OP}$, por lo que su retirada en $Set$ corresponde a un pushout en $Set^{OP}$. Sin embargo, los morfismos en $Set^{OP}$ son no funciones. Ellos son sólo formales flechas, por lo que el trabajo en $Set^{OP}$ no es muy intuitivo.

Ahora, he de advertir que algunas de trabajo matemático casualmente podría mencionar que $Set^{OP}$ es equivalente a la categoría de completar atómica álgebras booleanas ($CABA$), por lo que algunos interpretación significativa en el $Set^{OP}$ es aún posible, pero esto puede sonar como una respuesta de Mac Lane del libro, y no voy a hacer eso :-)

Por cierto, bienvenida a las Matemáticas.SE!

Answer 2

Un pullback no es sólo el diagrama. También debe satisfacer algunas de sus propiedades:

1. El diagrama que se deben de viajar, en otras palabras $f\circ p_1=g\circ p_2$.

2. [Universal de los bienes] $P$ debe ser un objeto, que para cualquier objeto C de la categoría, si hay morfismos $C\to X$$C\to Y$, entonces también debe tener una única morfismos $C\to P$ y estos morfismos deben de viajar, de nuevo.

Así, para la definición de un pushout, usted tiene que invertir la dirección de los morfismos no sólo en el diagrama, sino también en las propiedades. Así, se convierten en algo semejante a esto:

1. El (invertida) diagrama deben de viajar, en otras palabras $p_1\circ f=p_2\circ g$.

2. [Universal de los bienes] $P$ debe ser un objeto, que para cualquier objeto C de la categoría, si hay morfismos $X\to C$$Y\to C$, entonces también debe tener una única morfismos $P\to C$ y estos morfismos deben de viajar, de nuevo.