A lo largo de las líneas de mis líneas de mi pregunta anterior sobre el irracional ángulos "$45^\circ$ Cubo de Rubik: prueba de $\arccos ( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4} )$ es un irracional ángulo?", Yo estaba trabajando en un rompecabezas y me encontré con una pregunta interesante acerca de un irracional ángulo.
Tomar un rompecabezas hecho de un triangular bipyramid que se convierte en sus vértices:
La pieza en el centro debe ser un círculo, porque se mueve por una irracional cantidad después de una combinación de movimientos. Aquí está la ruta de un punto de toma después de que en repetidas ocasiones giro de la púrpura eje, seguido por el eje verde de 90 grados:
La matriz de rotación para esta operación es $$\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{8} & \frac{3}{4} & \frac{3}{8}\sqrt{3} \\ \frac{-3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{-1}{4}\sqrt{3} \\ \frac{-3}{8}\sqrt{3} & \frac{-1}{4}\sqrt{3} & \frac{5}{8} \end{array} \right)$$
Desde allí usted puede encontrar el eje de puntos que giran alrededor del es $[0, \sqrt{3}/2, -1]$ Y el ángulo de $\theta$ están girando a través de es $\arccos{\frac{1}{8}}$.
$\arccos{\frac{1}{8}}$ es de aproximadamente $82.819244218541^{\circ}$ e es irracional ángulo, porque la única racional de los valores que corresponden racional de los ángulos de las $\cos{\theta}$$\{-1, \frac{-1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1\}$.
Entonces, ¿qué sabemos acerca de la $\theta = \arccos{\frac{1}{8}}$? Es irracional ángulo, pero es una expresión algebraica ángulo? En general si $\cos \theta$ es racional hace que nos dicen nada (más allá de la racionalidad) acerca de $\theta$?
